Como calcular raiz quadrada
Foto de Allan K.
Por: Allan K.
17 de Abril de 2022

Como calcular raiz quadrada

Método das subtrações sucessivas

Matemática Aritmética Geral

Introdução

Você certamente já teve que calcular a raiz quadrada de um número alguma vez na vida (na escola, ao fazer o Enem, ao prestar algum vestibular ...) e, provavelmente, achou isso uma tarefa chata! Digamos que queremos calcular . Normalmente fazemos por tentativa e erro ou por fatoração.

Se for por tentativa e erro iniciamos com um chute, digamos 30. Então

e vemos que está abaixo de 1225. Tentamos de novo:

,

e de novo e de novo até que encontramos

,

para concluirmos que .

Se for por fatoração fazemos aquele velho esquema das divisões sucessivas por números primos: 

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta



Desenhos à Tinta

E encontramos . Assim

Até aqui tudo tranquilo. Mas e se nos depararmos com uma raiz não exata, digamos ? Podemos até fazer por tentativas mas isso demoraria muito! Vou mostrar um método muito simples e fácil para calcular raízes quadradas com a precisão que desejarmos!

O método

A ideia é a seguinte: sempre subtraímos números ímpares. O número de subtrações será a raiz quadrada do número. Por exemplo: calcular . De 25 subtraímos sempre números ímpares (1,3,5,7,9 ...) sucessivamente até não dar mais.

Pronto, chegamos em 0. Como fizemos ao todo 5 subtrações, então a raiz quadrada de 25 é 5.

Outro exemplo: calcular . Fazemos

Chegamos em 0. Efetuamos ao todo 7 subtrações, logo .

Exemplo: calcular .

Já vimos que o resultado é 35. Então precisaríamos efetuar 35 subtrações? Não! Felizmente existe um atalho para isso. Primeiro dividos o número 1225 em blocos de 2 algarismos, separando por ponto: 12.25. Efetuamos as subtrações no bloco da esquerda que, no caso, é 12 (destacado em verde):

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta




Desenhos à Tinta

Subtraímos os ímpares (1,3,5, destacados em vermelho). Note que a última diferença foi 3 (que chamaremos de resto) e o próximo ímpar a subtrair seria o 7, porém de 3 não posso subtrair 7, pois daria negativo. Então paramos a primeira etapa do processo aqui. Como efetuamos 3 subtrações, o primeiro dígito da raiz quadrada é 3 (que eu vou deixar anotado no canto).

Para a próxima etapa descemos o próximo bloco de algarismos (o 25) e juntamos ao resto (que é 3), formando 325.

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta





Desenhos à Tinta

Abaixo de 325 começamos a subtrair 1, mas não é só isso. O último número ímpar que subtraímos foi o 5. Somamos 1 a 5, formando 6, e escrevemos esse 6 ao lado do 1, formando 61.

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta






Desenhos à Tinta

Então de 325 subtraímos 61 e daí por diante para os próximos números ímpares (63, 65, 67, 69 ...), efetuando as subtrações até não dar mais.

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta

















Chegamos em 0. Como efetuamos 5 subtrações nesta nova etapa, o próximo algarismo da raiz é 5. Portanto a raiz quadrada de 1225 é 35.

Exemplo: calcular . Começamos dividindo o número em blocos de 2 algarismos da direita para a esquerda: 1.58.76. Iniciamos as subtrações pelo bloco da esquerda, que no caso é 1.



Desenhos à Tinta

O próximo ímpar a subtrarir seria o 3, mas ele é maior do que o resto, que é 0, então paramos aqui. Como efetuamos uma subtração, o primeiro algarismo da raiz é 1.

Descemos o próximo bloco (58).


Desenhos à Tinta

Somamos 1 ao ímpar anterior, que foi 1, gerando 2, e o escrevemos ao lado de 1, formando 21.

Desenhos à Tinta

Desenhos à Tinta

e fazemos as subtrações (21, 23, 25 ...) até não dar mais.





Desenhos à Tinta

Novamente, o próximo ímpar seria 25, mas é maior do que o resto 14, logo paramos. Como fizemos duas subtrações nesta etapa, o próximo algarismo é 2.

Descemos o próximo bloco (76) e repetimos o processo. Somamos 1 a 23, o que dá 24, e o escrevemos ao lado de 1, formando 241 e então subtraímos daí (243, 245, 247 ...).

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta


















Desenhos à Tinta

Efetuamos 6 subtrações até obter resto 0. Logo o último algarismo é 6 e a raiz quadrada de 15876 é, portanto, 126.

Exemplo: calcular .

Dividimos em blocos de 2 algarismos: 16.01.84.05.29. Começamos as subtrações no bloco da esquerda: 16.

Desenhos à Tinta


Desenhos à Tinta

Foram 4 subtrações, logo o primeiro algarismo é 4. Abaixamos 01.

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta




Desenhos à Tinta

Pela regrinha o próximo ímpar a subtrair seria o 81 (último ímpar + 1, 7+1=8, e escrevemos ao lado de 1: 81), mas ele é maior do que o resto, que é 0, então não efetuamos subtrações. Ora, se não foi feita subtração, então o próximo algarismo é 0.

Seguindo o processo, abaixamos o próximo bloco, que é 84.

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta




Desenhos à Tinta

Agora haverá uma mudança: não subtraímos mais o 81. Fazemos a seguinte montagem: escreva o 1. Como o último algarismo da raiz foi o 0, escrevemos o 0 ao lado do 1, formando 01, e aí escrevemos o ímpar anterior + 1, o 8, ficando 801. Mas de novo, 801 é maior do que o resto 184, então fazemos este processo de novo: o próximo algarismo da raiz é 0, baixamos o próximo bloco, 05, escrevemos zero novamente ao lado de 1, 001, e escrevemos o ímpar anterior+1, ficando 8001

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta





Desenhos à Tinta

Agora o ímpar gerado, 8001, é menor do que o resto, 18405, logo podemos efetuar as subtrações

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta






Desenhos à Tinta

Feitas duas subtrações, o próximo algarismo é 2. Abaixamos o último bloco, 29, e repetimos o processo.

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta

















O ímpar anterior, 8003, +1 dá 8004 e o escrevemos ao lado de 1, formando 80041, que é menor do que o resto 240129, logo podemos fazer as subtrações. Foram feitas 3 subtrações, então o último algarismo é 3. Portanto.

Raiz quadrada aproximada

Até agora só vimos raízes exatas. Vamos aplicar este método para calcular .

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta




Desenhos à Tinta

3 subtrações, o primeiro algarismo é 3. Note que ficou 1 como resto. Para continuar fazemos assim: acrescentamos 00 ao resto, formando 100, e uma vírgula após o 3. Repetimos o processo exatamente como antes.

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta


Desenhos à Tinta

Acrescentamos 00 ao resto, ficando 3900 e continuamos o processo para obter quantas casas decimais quisermos.

Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
Desenhos à Tinta
























Desenhos à Tinta

Portanto .

Por que este método funciona?

Você deve estar se perguntando: de onde vem este método maluco? Por que ele funciona? Bom, o artigo já está grande o suficiente e explicar o porquê deste método funcionar só faria o texto ficar absurdamente grande! Se quiser saber o motivo deste método funcionar você pode contratar uma aula minha que eu te explico detalhadamente, e posso dar outros exemplos caso ainda tenha dúvidas.

Para não te deixar na mão, aqui vai um SPOILER: este método se baseia na seguinte propriedade:

A soma dos primeiros números ímpares é igual a , isto é,

.

Então de subtraímos 1, 3, 5, ..., 2n-1 até chegar em 0. A quantidade de subtrações dá a raiz quadrada n.

Se gostou deste artigo, deixe o seu gostei, comente e me siga para ver mais publicações sobre métodos e macetes de cálculo!

Allan K.
Allan K.
Delmiro Gouveia / AL
Responde em 1 dia
Identidade verificada
1ª hora grátis
4,7
nota média
15
avaliações
R$ 50
por hora
Doutorado: MATEMATICA (UFAL - Universidade Federal de Alagoas)
Geometrica Analítica, Matemática para Ensino Médio, Matemática
Quer passar de semestre naquelas disciplinas temidas pelos alunos de exatas? Vem comigo!

Confira artigos similares

Aprenda sobre qualquer assunto