Como calcular raiz quadrada

Introdução

Você certamente já teve que calcular a raiz quadrada de um número alguma vez na vida (na escola, ao fazer o Enem, ao prestar algum vestibular ...) e, provavelmente, achou isso uma tarefa chata! Digamos que queremos calcular . Normalmente fazemos por tentativa e erro ou por fatoração.

Se for por tentativa e erro iniciamos com um chute, digamos 30. Então

e vemos que está abaixo de 1225. Tentamos de novo:

,

e de novo e de novo até que encontramos

,

para concluirmos que .

Se for por fatoração fazemos aquele velho esquema das divisões sucessivas por números primos: 

E encontramos . Assim

Até aqui tudo tranquilo. Mas e se nos depararmos com uma raiz não exata, digamos ? Podemos até fazer por tentativas mas isso demoraria muito! Vou mostrar um método muito simples e fácil para calcular raízes quadradas com a precisão que desejarmos!

O método

A ideia é a seguinte: sempre subtraímos números ímpares. O número de subtrações será a raiz quadrada do número. Por exemplo: calcular . De 25 subtraímos sempre números ímpares (1,3,5,7,9 ...) sucessivamente até não dar mais.

Pronto, chegamos em 0. Como fizemos ao todo 5 subtrações, então a raiz quadrada de 25 é 5.

Outro exemplo: calcular . Fazemos

Chegamos em 0. Efetuamos ao todo 7 subtrações, logo .

Exemplo: calcular .

Já vimos que o resultado é 35. Então precisaríamos efetuar 35 subtrações? Não! Felizmente existe um atalho para isso. Primeiro dividos o número 1225 em blocos de 2 algarismos, separando por ponto: 12.25. Efetuamos as subtrações no bloco da esquerda que, no caso, é 12 (destacado em verde):

Subtraímos os ímpares (1,3,5, destacados em vermelho). Note que a última diferença foi 3 (que chamaremos de resto) e o próximo ímpar a subtrair seria o 7, porém de 3 não posso subtrair 7, pois daria negativo. Então paramos a primeira etapa do processo aqui. Como efetuamos 3 subtrações, o primeiro dígito da raiz quadrada é 3 (que eu vou deixar anotado no canto).

Para a próxima etapa descemos o próximo bloco de algarismos (o 25) e juntamos ao resto (que é 3), formando 325.

Abaixo de 325 começamos a subtrair 1, mas não é só isso. O último número ímpar que subtraímos foi o 5. Somamos 1 a 5, formando 6, e escrevemos esse 6 ao lado do 1, formando 61.

Então de 325 subtraímos 61 e daí por diante para os próximos números ímpares (63, 65, 67, 69 ...), efetuando as subtrações até não dar mais.

Chegamos em 0. Como efetuamos 5 subtrações nesta nova etapa, o próximo algarismo da raiz é 5. Portanto a raiz quadrada de 1225 é 35.

Exemplo: calcular . Começamos dividindo o número em blocos de 2 algarismos da direita para a esquerda: 1.58.76. Iniciamos as subtrações pelo bloco da esquerda, que no caso é 1.

O próximo ímpar a subtrarir seria o 3, mas ele é maior do que o resto, que é 0, então paramos aqui. Como efetuamos uma subtração, o primeiro algarismo da raiz é 1.

Descemos o próximo bloco (58).

Somamos 1 ao ímpar anterior, que foi 1, gerando 2, e o escrevemos ao lado de 1, formando 21.

e fazemos as subtrações (21, 23, 25 ...) até não dar mais.

Novamente, o próximo ímpar seria 25, mas é maior do que o resto 14, logo paramos. Como fizemos duas subtrações nesta etapa, o próximo algarismo é 2.

Descemos o próximo bloco (76) e repetimos o processo. Somamos 1 a 23, o que dá 24, e o escrevemos ao lado de 1, formando 241 e então subtraímos daí (243, 245, 247 ...).

Efetuamos 6 subtrações até obter resto 0. Logo o último algarismo é 6 e a raiz quadrada de 15876 é, portanto, 126.

Exemplo: calcular .

Dividimos em blocos de 2 algarismos: 16.01.84.05.29. Começamos as subtrações no bloco da esquerda: 16.

Foram 4 subtrações, logo o primeiro algarismo é 4. Abaixamos 01.

Pela regrinha o próximo ímpar a subtrair seria o 81 (último ímpar + 1, 7+1=8, e escrevemos ao lado de 1: 81), mas ele é maior do que o resto, que é 0, então não efetuamos subtrações. Ora, se não foi feita subtração, então o próximo algarismo é 0.

Seguindo o processo, abaixamos o próximo bloco, que é 84.

Agora haverá uma mudança: não subtraímos mais o 81. Fazemos a seguinte montagem: escreva o 1. Como o último algarismo da raiz foi o 0, escrevemos o 0 ao lado do 1, formando 01, e aí escrevemos o ímpar anterior + 1, o 8, ficando 801. Mas de novo, 801 é maior do que o resto 184, então fazemos este processo de novo: o próximo algarismo da raiz é 0, baixamos o próximo bloco, 05, escrevemos zero novamente ao lado de 1, 001, e escrevemos o ímpar anterior+1, ficando 8001

Agora o ímpar gerado, 8001, é menor do que o resto, 18405, logo podemos efetuar as subtrações

Feitas duas subtrações, o próximo algarismo é 2. Abaixamos o último bloco, 29, e repetimos o processo.

O ímpar anterior, 8003, +1 dá 8004 e o escrevemos ao lado de 1, formando 80041, que é menor do que o resto 240129, logo podemos fazer as subtrações. Foram feitas 3 subtrações, então o último algarismo é 3. Portanto.

Raiz quadrada aproximada

Até agora só vimos raízes exatas. Vamos aplicar este método para calcular .

3 subtrações, o primeiro algarismo é 3. Note que ficou 1 como resto. Para continuar fazemos assim: acrescentamos 00 ao resto, formando 100, e uma vírgula após o 3. Repetimos o processo exatamente como antes.

Acrescentamos 00 ao resto, ficando 3900 e continuamos o processo para obter quantas casas decimais quisermos.

Portanto .

Por que este método funciona?

Você deve estar se perguntando: de onde vem este método maluco? Por que ele funciona? Bom, o artigo já está grande o suficiente e explicar o porquê deste método funcionar só faria o texto ficar absurdamente grande! Se quiser saber o motivo deste método funcionar você pode contratar uma aula minha que eu te explico detalhadamente, e posso dar outros exemplos caso ainda tenha dúvidas.

Para não te deixar na mão, aqui vai um SPOILER: este método se baseia na seguinte propriedade:

A soma dos primeiros números ímpares é igual a , isto é,

.

Então de subtraímos 1, 3, 5, ..., 2n-1 até chegar em 0. A quantidade de subtrações dá a raiz quadrada n.

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