Métodos Numéricos

Com o avanço dos recursos tecnológicos e necessidade de analisar uma maior quantidade de dados, surgem diversos métodos numéricos com a proposta de serem mais precisos e eficientes para inúmeros casos, das mais variadas áreas das ciências. Se comparado aos métodos analíticos e experimentais, os métodos numéricos se mostram uma opção mais rápida e de baixo custo, já que, segundo a ESSS (2017), o método analítico representa a solução a partir de fórmulas matemáticas, desenvolvidas, em sua maioria, manualmente, e os métodos experimentais necessitam de um trabalho de campo ou protótipos físicos. Porém, o método numérico nem sempre deve ser considerado como substituto dos demais métodos, visto que o método analítico representa melhor a matemática e, o método experimental, a realidade, ficando o método numérico no meio de ambos, aproximando-se da realidade, além de possibilitar uma melhor análise por meio de comparações, envolvendo diversos cenários.

O objetivo de um método numérico aplicado no contexto das equações diferencias é, em geral, substituir as derivadas existentes na equação, por expressões algébricas aproximadas que envolvem a função incógnita. Para isso, é necessário discretizar o domínio de interesse, e aplicar o método escolhido que, por sua vez, irá gerar um sistema linear, simplificando o cálculo da equação diferencial. Por conseguinte, dentre as propostas de métodos numéricos para a resolução de equações diferenciais, as mais conhecidas são: método das diferenças finitas (MDF), o método dos volumes finitos (MVF) e método dos elementos finitos (MEF), os quais são descritos resumidamente, a seguir:

• Método das Diferenças Finitas (MDF): É o método mais antigo para e resolução de equações diferenciais, introduzido por Euler no século XVIII, por isso é mais
  fácil de ser utilizado em geometrias simples, onde se divide o domínio em nós e sua aproximação para as derivadas é feita usando séries de Taylor;

• Método dos Volumes Finitos (MVF): Utiliza a forma integral da equação para obter sua aproximação, seu domínio é dividido em volumes de controle contíguos é as equações de conservação são aplicadas a cada um deles. Suas integrais de superfícies podem ser aproximadas por fórmulas de quadratura, dentre outras;

• Método dos Elementos Finitos (MEF): Possui similaridade com o método dos volumes finitos com a diferença que as equações são multiplicadas por uma função peso antes de serem integradas em todo o domínio. Seu domínio é dividido em elementos discretos que podem ser triangulares, quadriláteros, dentre outros, o que facilita o cálculo de geometrias complicadas e malhas não facilmente refinadas.