Sistema de Equações

Uma apresentação simples e didática.

Matemática Ensino Médio Ensino Fundamental ENEM Ensino Superior
Sistema de Equações
Anna C.
em 28 de Fevereiro de 2021

Os sistemas lineares de equações estão associados a muitos problemas de engenharia e ciências, bem como a aplicações da matemática nas ciências sociais e ao estudo quantitativo de problemas econômicos e de negócios (Burden, 2010). Um sistema de equações é um conjunto de equações que apresentam duas ou mais incógnitas. Assim, sua forma genérica é dada por m equações com n variáveis:

Todos os sistemas possuem uma representação matricial, isto é, constituem matrizes envolvendo os coeficientes numéricos e a parte literal. Logo, na forma matricial:

Ou ainda, pode ser representado na forma compacta:

onde, A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor de incógnitas e b é o vetor de variáveis independentes.

TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES 

Matriz Diagonal

A matriz é dita diagonal quando, dada uma matriz quadrada, todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são obrigatoriamente iguais a zero. Formalmente, uma matriz  An = [aij ]n×n, com n ≥ 2, é chamada de matriz diagonal se, e somente se, para todo aij , com i j, tem-se aij = 0, conforme mostrado na equação abaixo. Existem um casos especiais da matriz diagonal onde sua diagonal principal é formada apenas pelo número 1, ou seja, uma matriz identidade. 

Matriz Tridiagonal

A matriz tridiagonal é uma matriz quadrada cujos únicos elementos não nulos estão na diagonal principal e nas diagonais usualmente logo acima e abaixo da principal, conforme a equação a seguir.

Matriz Triangular Superior e Inferior

Uma matriz quadrada An = [aij ]n×n é chamada triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, se aij = 0, para i < j, conforme
mostrado na equação a baixo.

Analogamente, diz-se que uma matriz quadrada An = [aij ]n×n é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, ou seja, se aij = 0, para i > j, conforme a equação a seguir.

Diz-se ainda que uma matriz triangular inferior ou superior tem diagonal unitária quando todos os elementos da sua diagonal principal são iguais a 1.

OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES
Aplicar as operações da aritmética para resolver problemas com matrizes é extremamente importante, sendo tais operações parecidas com as utilizadas para escalar, a seguir é apresentada uma explicação baseada em Steinbruch (1987). 

Adição Entre Matrizes
Para fazer a soma entre duas matrizes é preciso fazer a soma de todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, logo, soma-se linha com linha e coluna com coluna, por isso as matrizes devem ter a mesma ordem. Seja A = [aij ]m×n, B = [bij ]m×n matrizes que possuem a mesma dimensão, daí:

Cabe ressaltar que, para fazer a subtração entre matrizes basta seguir as mesmas condições da adição, porém será feita a subtração de cada elemento correspondente, linha com linha e coluna com coluna.

Multiplicação de Matriz por um Escalar
Para a multiplicação de uma matriz A = [aij ]m×n por um escalar c qualquer, é necessário que todos os elementos contidos na matriz sejam multiplicados por esse escalar, ou seja: 

Multiplicação Entre Matriz e Vetor
Para a multiplicação entre matriz e vetor é preciso que o número de colunas da matriz seja igual ao número de linhas do vetor. Se A é uma matriz do tipo A =[aij]m×n, e v é um vetor do R^n, então define-se o produto da matriz A pelo vetor v como o vetor de R^m resultante da combinação linear das colunas de A com coeficientes dados pelas entradas do vetor v. Seja a matriz A = [aij ]2×3 e um vetor v de R^3, daí:

Multiplicação Entre Matrizes
Na multiplicação entre matrizes é fundamental que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. Sendo a matriz A do tipo A = [aij ]m×n e a matriz B do tipo B = [bij ]n×p, a matriz AB resultante do produto entre as referidas matrizes possui dimensão "m × p" e os elementos dessa nova matriz é o resultado da multiplicação da i-ésima linha de A pela j-ésima coluna de B, ou seja:

Como exemplo, considere as matrizes A = [aij ]2×2 e B = [bij ]2×3, a matriz resultante será:

 

 

Magé / RJ
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