Solução Numérica de Sistema de Equações

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sistema de equações lineares

Existem diversas formas para a solução de um sistema linear do tipo Ax = b, sendo elas divididas em métodos diretos, os quais tem como característica o fato de
conseguir-se chegar em uma solução com um número nito de passos a serem seguidos e, métodos iterativos, que encontram uma solução aproximada de x, a qual satisfaz o problema dado, utilizando uma sequência de aproximações. Dentre os métodos mais utilizados, pode-se citar:

• Métodos Diretos: Eliminação Gaussiana, Fatoração LU (do inglês Lower e Upper );
• Métodos Iterativos: Jacobi-Richardson, Gauss-Seidel.

A seguir, é feita uma breve e sucinta descrição sobre cada um desses métodos.
Para uma descrição mais detalhada sobre os mesmos, consultar Arenales (2010), Burden
(2010) ou Ruggiero (1997).

Eliminação Gaussiana

O método da Eliminação de Gauss consiste em transformar um sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz dos coecientes triangular superior,
pois estes são de resolução imediata e possuem a mesma solução (Pilling, 2017). Para modicar convenientemente o sistema linear original de forma a obter um
sistema equivalente, faz-se uso do teorema a seguir:

Teorema: Seja Ax = b um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema uma sequência de operações elementares escolhida entre:

• Trocar a ordem de duas equações;
• Multiplicar uma equação por uma costante não nula;
• Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação.

Obtem-se um novo sistema Abx = bb tal que os sistemas Ax = b e Abx = bb sejam equivalentes.

Fatoração LU

Considere um sistema linear Ax = b, onde a matriz A é densa, ou seja, possui a maioria dos elementos diferentes de zero. A m de resolver o sistema, pode-se fatorar a matriz A como o produto de uma matriz L triangular inferior e uma matriz U triangular superior, ou seja, A = LU. Sendo assim, o sistema pode ser reescrito da seguinte forma:

Isto significa que, em vez de resolver o sistema original, pode-se resolver o sistema triangular inferior Ly = b e, então, o sistema triangular superior Ux = y, o qual nos
fornece a solução de Ax = b.

A matriz L é construída a partir da matriz identidade I, ao longo do escalonamento de A. Os elementos da matriz L são os múltiplos do primeiro elemento da linha de A a ser zerado, dividido pelo pivô acima na mesma coluna. A matriz U da fatoração LU é a matriz obtida ao nal do escalonamento da matriz A.

Método de Jacobi-Richardson

O método de Jacobi-Richardson, também conhecido como método de Gauss-Jacobi, transforma um sistema linear Ax = b em um sistema x = Hx + g, onde:

Como exemplo, tome um sistema 3 × 3.

ou ainda:

Na forma matricial x = Hx + g:

Assim, de uma maneira geral, o método de Jacobi-Richadson consiste em, a partir de uma aproximação inicial x(0), obter uma sequência de vetores x(1), . . . , x(k)
, . . . , através da relação recursiva x(k+1) = Hx(k) + g, ou seja:

Esse processo continua até que o critério de parada, seja atingido. Usualmente, toma-se como base a diferença (erro) entre duas iterações consecutivas, dada por:

Para que o método em questão convirja para uma solução aproximada do sistema, é necessário que o critério a seguir seja satisfeito, chamado critério das linhas.

Critério das Linhas: Seja o sistema linear Ax = b e seja . Se α = max(1<k<n) α k < 1, então o método gera uma sequência convergente para a solução do sistema dado, independentemente da escolha da aproximação inicial.

Método de Gauss-Seidel

De maneira semelhante ao ocorrido no método de Jacobi-Richardson, no método de Gauss-Seidel o sistema linear Ax = b é escrito na forma equivalente x = Hx + g por separação da diagonal (Pilling, 2017). Porém, a cada novo cálculo de xi os valores são atualizados dentro da própria iteração, o que agiliza o processo iterativo.
Assim, dada uma estimativa inicial x(0), o processo iterativo para calcular x(1), x(2), ..., x(k), ..., sequência que contém a solução aproximada para o sistema tomado como exemplo a apresentação anterior, é dado como segue:

De forma geral, tem-se:

Portanto, no processo iterativo de Gauss-Seidel, no momento de se calcular x(k+1) j são usados todos os valores x(k+1) 1, ..., x(k+1) j−1 que já foram calculados e os valores x(k) j+1, ..., x(k)n restantes (Pilling, 2017). Esse processo continua até que o critério de parada seja atingido: