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A Segunda Lei de Newton está incompleta?

Por: Duane D.
14 de Agosto de 2015

A Segunda Lei de Newton está incompleta?

Física Física 1 Ensino Médio Velocidade EM Leis de Newton Momento Movimento 2

Olá, pessoal. Tratarei hoje de um tema um tanto quanto polêmico e controverso.

Os pré-requisitos para a compreensão deste artigo são: Física 1 e Cálculo 1 (ambos são vistos no primeiro ano de graduação em física). Vale lembrar que a Mecânica Clássica será nosso "palco".

OBS: Todas as velocidades serão tomadas com relação ao solo!

Suponha um caminhão de massa $m(t)$ e velocidade $\vec{v}(t)$ em movimento por uma estrada. Suponha agora que um helicóptero tenha que descer uma carga de massa $\Delta m$ neste caminhão. Suponha que este helicóptero tenha velocidade $\vec{u}$ e irá deixar a carga com esta velocidade. Em resumo: temos um caminhão de massa $m(t)$ e velocidade $\vec{v}(t)$ e ele receberá uma massa $\Delta m$ de velocidade $\vec{u}$ .

A pergunta é: como se comportará o caminhão? Ou seja: qual será a equação que mostrará seu movimento?
Vamos começar as contas!

Se $\vec{p_1}(t)$ é o momento linear relativo ao caminhão antes do carregamento e $\vec{p_2}$ o momento linear da carga antes do carregamento, temos:

$\vec{p_1}(t) = m(t).\vec{v}(t)$

$\vec{p_2} = \Delta m.\vec{u}$

O momento linear inicial do sistema é:

$\vec{P}(t) = m(t).\vec{v}(t) + \Delta m.\vec{u}$

(1)

O momento linear do sistema após o carregamento do caminhão é:

$\vec{P}(t+\Delta t) = m(t+\Delta t).\vec{v}(t+\Delta t)$

(2)

Pela conservação do momento linear na presença de uma força externa qualquer $\vec{F}^{(e)}$ aplicada ao sistema, temos:

$\vec{P}(t+\Delta t) - \vec{P}(t) = \vec{F}^{(e)}$

Usando as equações (1) e (2):

$m(t+\Delta t).\vec{v}(t+\Delta t) - m(t).\vec{v}(t) - \Delta m.\vec{u} = \vec{F}^{(e)}$

(3)

Para simplificar os cálculos e a visualização, vamos mudar alguns termos. Faremos:

$\vec{v}(t+\Delta t) = \vec{v}(t) + \vec{\Delta v}$

$m(t+\Delta t) = m(t) + \Delta m$

Assim a equação (3) fica:

$[m(t) + \Delta m].[\vec{v}(t) + \vec{\Delta v}] - m(t).\vec{v}(t) - \Delta m.\vec{u} = \vec{F}^{(e)}$

$m(t).\vec{v}(t) + m(t).\vec{\Delta v} + \Delta m.\vec{v}(t) + \Delta m. \vec{\Delta v} - m(t).\vec{v}(t) - \Delta m.\vec{u} = \vec{F}^{(e)}$

Simplificando os termos em comum, ficaremos com:

$\Delta m.[\vec{v}(t) - \vec{u}] + \vec{\Delta v}.[m(t) + \Delta m] = \vec{F}^{(e)}$

(4)

Observe que a subtração de velocidades do lado esquerdo é a velocidade relativa inicial entre o caminhão e a carga! Chamaremos esta velocidade de $\vec{v_R}$ .
Observe também, que a soma das massas se refere à massa após o carregamento! Chamaremos esta massa de $M$ .
Dividiremos ambos os lados por $\Delta t$ e faremos o limite de $\Delta t \rightarrow 0$ (faremos a derivada com relação ao tempo)! Usando a notação de ponto em cima da variável para a derivada temporal, ficaremos com:

$\dot{m}.\vec{v_R} + \dot{\vec{v}}.M = \vec{F}^{(e)}$

(5)

A equação (5) é o motivou deste artigo!

No Ensino Médio vemos a Segunda Lei de Newton como:

$\vec{F}^{(e)}=m.\dot{\vec{v}}$

(A)

Na graduação, aprendemos que:

$\vec{F}^{(e)} = \dot{\vec{p}} = m.\dot{\vec{v}} + \dot{m}.\vec{v}$

(B)

Note que a equação (A) é um caso específico da equação (B)!

O problema é que na equação (5) vemos um termo que depende da velocidade relativa entre os corpos! As equações (A) e (B) não apresentam nenhum termo deste tipo! O mais chocante disso é que Isaac Newton enunciou sua Segunda Lei de acordo com a equação (B)! Neste caso, a equação (5) não respeita a Segunda Lei de Newton!

As formas de chegarmos à Segunda Lei de Newton são:

1-Se fizermos $\vec{v_R} = 0$ , ou seja, o caminhão e a carga têm a mesma velocidade no início, chegaremos na equação (A). A equação (A), e somente ela, é capaz de descrever o problema proposto nesta condição! A equação (B) não seria capaz de descrever o problema, mesmo se tratando de um problema de massa variável;
2-Se fizermos $\vec{v_R} = \vec{v}(t)$ , ou seja, a carga estava parada em relação ao solo, chegaremos na equação (B). A equação (B), e somente ela, é capaz de descrever o problema proposto nesta condição!
Se nenhuma destas duas condições for satisfeita, não podemos usar a Segunda Lei de Newton para resolver este problema! Teremos que recorrer à equação (5)!!

Então podemos concluir que, mesmo na Mecânica Clássica, a Segunda Lei de Newton é "violada"! ISTO NÃO QUER DIZER QUE ELA ESTÁ ERRADA! Simplesmente diz que há casos em que ela não dá conta de descrever o problema! De fato, as três Leis de Newton possuem "exceções" mesmo dentro da Mecânica Clássica!