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Por que o número 1 não é primo?

Autor: Duane D.

Matemática

05/09/15

Profes / Blog / Matemática

Teoria dos Números Ensino Médio Geral Operações

Olá, pessoal.
Hoje vou trazer um artigo bem curto mas que me causou muitas dúvidas no Ensino Médio!

O número 1 é ou não um número primo?

Vamos examinar primeiro, a definição de um número primo:

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"Número primo é aquele que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo."

Sabemos então que: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. são números primos! Mas e o 1?!
Bom, o 1 satisfaz a definição! Então podemos considerá-lo um número primo? Pudémos! Mas não podemos mais!! O motivo é bem simples: encontramos um teorema que envolve números primos e o 1, caso fosse considerado um número primo, atrapalharia este teorema! O teorema em questão é:

"Todo número inteiro não primo pode ser escrito unicamente como a multiplicação de números primos."

Alguns exemplos:

$16=2.2.2.2$

$15=3.5$

$4=2.2$

Atente-se para a palavra "unicamente" na definição! Portanto, só é possível termos uma forma de escrever os números acima (lembrando que alterar a ordem dos fatores não altera a multiplicação!). Caso o número 1 fosse considerado um número primo, poderíamos ter:

$16=1.2.2.2.2$

$15 = 1.1.1.1.3.5$

$4=1^n.2.2$

Portanto, o teorema não seria válido!

Os matemáticos então decidiram excluir o número 1 do grupo dos primos para que o teorema fosse preservado! Isso foi feito pois os teoremas são muito mais significativos do que um grupo.
Portanto, este é o motivo de o número 1 não ser considerado um número primo!

Espero que tenham gostado da rápida explicação!

Abraço,
Duane Damaceno

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Andre S. há 4 anos

“Todo número natural não primo pode ser escrito de uma única maneira como produto de números primos.” O teorema fundamental da aritmética exclui o número 1... "Todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito como produto de números primos", logo, o número 1, pela análise do teorema não será nem composto e nem primo... a ânsia de questionar sua explicação, levou alguns colegas a se descuidarem nos argumentos... dizer que 3.5 = 15 e 1.3.5 = 15 torna sua explicação errada é um ABSURDO... 1 é elemento neutro da multiplicação, ou seja, ele disse que uma coisa é igual a outra coisa, e isso as torna diferentes...ABSURDO (no sentido lógico matemático)

Andre S. há 4 anos

Inicialmente, parabéns pela iniciativa de trazer o debate do tema...e acrescentando que "Todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito como produto de números primos.”
Quando a colega citou que 16 pode ser escrito como 4.4 ou 2.2.4, ela esqueceu que o teorema diz que "pode ser escrito como produto de fatores primos... e não unicamente...

Fernandp M. há 5 anos

Essa explicação está ERRADA. A primeira parte está certa, mas voce se confundiu na segunda parte. Porque 3.5 = 15 está certo e 1.2.3 = 15 está errado? Nao está errado a explicação é outra. o teorema diz que a multiplicação de numeros primos dá um numero NÃO PRIMO. Portanto de multiplicarmos 1 x um numero primo, o resultado CONTINUA PRIMO. POR ISSO O NUMERO 1 NAO PODE SER PRIMO. ENTENDEU..............

Salvador T. há 8 anos

Obrigado professor, vou pesquisar o endereço citado.
Abraço

Salvador T. há 8 anos

Caro Professor boa tarde,
Estudando probabilidade deparei-me com um problema que definia o 1 como não sendo primo e procurei informações e deparei-me com sua colocação sobre o tema.
Pergunto:
Se o número 1 não é primo, deduz-se que ele é não primo. Assim sendo, ele teria que se enquadrar no teorema : "Todo número inteiro não primo pode ser escrito unicamente como a multiplicação de números primos" .
Dessa forma como enquadrá-lo no teorema, uma vez que ele é não primo? Quais são os números primos que, unicamente, multiplicados daria 1?
Obrigado

Duane D. há 8 anos

Olá, Salvador.
Sua pergunta é excelente e me fez pensar um bocado. Obrigado por compartilhar comigo sua dúvida!

Este teorema que você cita é o teorema fundamental. Um ponto muito importante que não pode faltar nele é justamente que o número deve ser maior do que 1 (ou maior e igual a 2).
Coloco aqui abaixo, duas referências deste teorema:
https://brilliant.org/wiki/fundamental-theorem-of-arithmetic/

http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/aula5-2014.pdf
Na página 7 está a definição do teorema

Portanto, é necessária a exigência de que este número inteiro seja maior do que 1.
Espero que tenha sanado sua dúvida. Sei que você esperava uma resposta mais "elaborada matematicamente", mas esta é a resposta para sua pergunta.

Obrigado novamente.

Cidadão K. há 9 anos

Deus, quanto achismo! A definição utilizada é primária e falta lógica básica. O termo "ou" é excludente, então somente poderia haver uma solução para cada divisor.

Cidadão K. há 9 anos

Explicando melhor, e saindo das aulas básicas de matemática, a definição exata diz que número primo é aquele divisível APENAS por 4 números.
1 é divisível por (-1, 1) Não é primo
2 é divisível por (-2, -1, 1, 2)
3 ... (-3, -1, 1, 3)
4 ... (-4, -2, -1, 1, 2, 4) Não é primo
E assim por diante. Agora, corrija esse post vergonhoso, não existe essa história de conveniência!!!

Duane D. há 9 anos

Olá, "Cidadão Kane".
De fato, essa definição dada por você é a definição dada para os números primos INTEIROS e como já citei, é uma definição reformulada após o teorema citado no artigo.
A sua definição falha para o grupo dos Naturais, onde não há números negativos( portanto. Na definição que você deu, falta a complementação de que é para o grupo dos inteiros.

O intuito deste artigo não é simplesmente dizer que o número 1 não é primo! Isto, qualquer pessoa alfabetizada pode achar no Wikipedia como você fez. O intuito do artigo é mostrar o porquê dele não ser primo, visto que existiram MUITAS DEFINIÇÕES de números primos! Inclusive, muitas delas (como a de Stern), consideravam o número 1 como primo! Essas definições foram sumindo e se resumindo a que você citou, após o teorema de Euclides (citado no artigo).

A matemática, mesmo não sendo ciência, segue boa parte do modelo científico e não é linear! Quem acredita em uma matemática linear, não estou história da ciência!
Você me acusou de escrever "achismos" poderia mostra onde há achismos no meu texto? Poderia citar fontes que comprovam que a definição de números primos SEMPRE foi a que você citou? (Lembrando que esta só é válida para os inteiros)
Este espaço é para diálogo e respeito!

Duane D. há 9 anos

Em momento algum citei "conveniência"!
Os teoremas são mais importantes que grupos e os matemáticos podem fazer isso!
A criação dos números complexos surgiu por fatores semelhantes! Hoje vemos muita aplicação deste grupo para a física (especialmente eletromagnetismo); porém, em sua criação, não havia esta necessidade!

Como disse, aqui é um espaço para discussões e respeito.
Não há nada de vergonhoso no artigo até que você cite suas fontes!

Duane D. há 9 anos

Como disse, aqui é um espaço para discussões e respeito.
Não há nada de vergonhoso no artigo até que você cite suas fontes!

Duane D. há 9 anos

A propósito: por favor, melhor suas pontuações e uso do português! É difícil uma leitura que despreza normas ortográficas!

Oseias M. há 9 anos

Por que o número “1” não é primo?
Número primo é todo número divisível por 1 "e" por ele mesmo, e seus divisores são distintos.
(Equivoquei-me no comentário anterior).

Cidadão K. há 9 anos

Não! Essa é apenas uma explicação dada a alunos iniciantes para facilitar o aprendizado. Está incompleta, pois só vale para primos inteiros positivos. Em matemática teórica tem que citar o domínio SEMPRE. Faça um favor a si mesmo e leia o livro "A música dos números primos" antes de voltar a falar sobre esse assunto sagrado. Abraço!

Oseias M. há 9 anos

Definição de números primos: É todo número divisível por 1 ou por ele mesmo, assim os números primos tem dois divisores distintos. Como o número 1 só tem um divisor ele não é considerado número primo.

Espero ter ajudado!

Duane D. há 9 anos

Olá, Oseias.
Desconheço esta definição. Poderia me mostrar uma referência dela?
O que me parece estranho nela é a palavra "ou". Por ser uma conjunção alternativa, esta palavra do impede que o número primo seja divisível por dois números! Ela obriga que o número primo seja divisível por um número só! E sabemos que isso não é verdade!
O número 2 é primo e é divisível por 1 E por 2! Note a conjunção aditiv "e" !

Ana M. há 9 anos

Muito bem explicado, gostei pela simplicidade, pois acredito que qualquer pessoa entenderá com facilidade.

Oseias M. há 9 anos

Lucas S. há 9 anos

Boa tarde, professor Duane Damaceno.

Aprecio sua publicação ao explicar o porquê do número 1 não ser um número primo; mas uma coisa não ficou clara em minha cabeça: por que a adição do número 1 aos primos atrapalharia o teorema se, ao fazermos a multiplicação entre os números primos e o 1, o produto não seria alterado?
Exemplo: Se 2x2x2x2x1 nos dá o mesmo resultado que 2x2x2x2 — ou seja, 16 —, como o teorema seria atrapalhado?

Parabéns pelo post. Abraços!

Duane D. há 9 anos

Olá, Lucas. Que bom que gostou do texto.
A explicação está no fato de o teorema exigir uma ÚNICA forma.
Se o número 1 fosse primo, como você mesmo mostrou, haveria mais de uma forma de escrever os números em questão. Na verdade, haveria infinitas formas; Ja que poderíamos multiplicar infinitas vezes por 1, que o resultado não mudaria.
Espero que tenha entendido. Caso a dúvida persista, me mande outra mensagem.
Abraço

Oseias M. há 9 anos

Alex D. há 8 anos

tente decompor um numero inciando a decomposição por 01. Todo numero é divisivel por 01.

Alberto M. há 7 anos

Neste teorema o que atrapalha é justamente o UNICAMENTE. No exemplo do número 16, ele pode ser escrito como 4.2.2 ou 4.4. Aliás, 4 não é primo. E com outros números não primos a história se repete.