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DICA - Resolvendo integrais das funções sen(x) e cos(x) ao q

Autor: Duane D.

Matemática

12/08/15

Profes / Blog / Matemática

Trigonometria Funções Geral Equações Ensino Fundamental Geral Ensino Médio

Olá!
Hoje darei uma dica rápida para o cálculo integral de funções seno e cosseno elevadas ao quadrado!

$\int sen^2(x) dx$

(1)

$\int cos^2(x) dx$

(2)

Suponha que você se depare com integrais do tipo da equação (1) e (2). Para ilustrar a situação, iremos usar a equação (1) e tentar resolver por substituição.

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$u=sen(x)$

$du = cos(x)dx$

Consegue ver o problema? Será difícil eliminar a variável x do nosso problema (não é impossível, mas há um jeito bem mais simples).

Vamos então fazer uso da equação fundamental da trigonometria:

$cos^2(x) + sen^2(x) = 1$

$sen^2(x) = 1 - cos^2(x)$

(3)

Podemos fazer uso da equação de soma de arcos para o cosseno. Assim vamos eliminar o termo quadrático do lado direto da equação (3).

$cos(2x) = cos(x+x) =cos(x)cos(x) - sen(x)sen(x)$

$cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x)$

(4)

Reorganizando os termos da equação (4) e substituindo na equação (3), temos:

$sen^2(x) = 1 - cos(2x) -sen^2(x)$

$sen^2(x) = \frac{1 - cos(2x)}{2}$

(5a)

Agora podemos usar a equação (5a) na equação (1) para resolvermos. Ficamos então com:

$\int \frac{1-cos(2x)}{2} dx$
$\int \frac{1}{2} dx - \int \frac{cos(2x)}{2} dx$

Resolvendo, chegamos em:

$\frac{x}{2} - \frac{sen(2x)}{4} + C$

Onde C é uma constante (já que se trata de uma integral indefinida).

Podemos ainda, fazer uso da equação de soma de arcos da função seno para deixar com funções trigonométricas onde o argumento seja apenas x. Mas isto não traz nenhuma grande vantagem.

Para calcularmos a função da equação (2), devemos proceder da mesma forma. A única coisa que irá mudar, será a função que iremos isolar. Chegaremos em uma nova função para a equação (5). Teremos:

$cos^2(x) = \frac{1+cos(2x)}{2}$

(5b)

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Se substituirmos a equação (5b) na equação (2) chegaremos em:

$\frac{x}{2} + \frac{sen(2x)}{4} + C$

Caso você tenha boa memória, pode tentar memorizar as equações (5a) e (5b). Desta forma você resolverá mais rápido os problemas. Porém, entendendo todos os passos dados, você não terá problemas!

Espero que esta pequena dica possa ajudar nos exercícios de Cálculo.

Abraço,
Duane Damaceno.