O porquê de corpos com diferentes pesos caírem em tempos igu

UTILIZAREMOS NESTE ARTIGO: matemática literal, conhecimentos de álgebra e conhecimentos básicos de mecânica newtoniana.

O italiano Galileu Galilei (1564-1642) constatou um fato muito interessante que ainda intriga muitas pessoas e contraria a visão aristotélica: corpos com pesos diferentes tem o mesmo tempo de queda quando soltos de uma mesma altura e possuem a mesma aceleração na queda (isto faz com que eles estejam sempre lado a lado). Seus experimentos foram feitos com corpos em queda livre e em planos inclinados.
A rigor, corpos com pesos diferentes tem o mesmo tempo de queda na ausência de atrito. Porém, se considerarmos apenas corpos com massas grandes, podemos verificar esse fato mesmo na presença de atrito.

A questão que fica é: por que isso acontece? 

Para respondermos esta pergunta precisaremos de três conceitos: 1- Lei da Gravitação Universal; 2-Primeira Lei de Newton; 3- Segunda Lei de Newton;

Antes de entrarmos nos conceitos citados, vamos fixar qual é o fenômeno que você deve ter em mente! Usaremos a Figura 1 para ilutrá-lo.

Figura 1: Corpos em queda livre (o tamanho dos corpos é tido como proporcional às massas).

Vemos na Figura 1 que o corpo azul (menor, portanto com menor massa) cai junto com o corpo vermelho (maior, portanto maior massa). Nossa intuição nos diz que o corpo com maior massa deveria cair primeiro - isto poderia ser justificado porque ele tem maior peso (explicaremos isso adiante) e o peso é uma força! Se chutamos duas bolas, uma com bastante força e a outra com pouca, temos em mente que a bola chutada com maior força irá mais rápido (e realmente irá). Mas por que isto não se aplica aos corpos em queda livre? É isto o que responderemos abaixo.

1 - Gravitação Universal

Isaac Newton (1643-1727) enunciou a Lei da Gravitação Universal em seu livro Princípios Matemáticos de Filosofia Natural. Lá ele descreve que a Força Gravitacional é proporcional a qualidades inerentes dos corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre estes corpos. Matematicamente e de forma não vetorial temos:

(1)

Onde  é a Força Gravitacional,  é a Massa Gravitacional do corpo,  é a Distância entre estes corpos e  é a constante da gravitação universal.

No Ensino Médio não é muito comum nos referirmos à Massa Gravitacional. Geralmente só dizemos "massa". Porém, o fato de entendermos o que é a massa gravitacional é um dos dois pontos chaves para entendermos nosso problema!
A massa gravitacional tem, na força gravitacional, o mesmo papel que a carga elétrica tem na força elétrica! A massa gravitacional é como se fosse uma "carga gravitacional". Ela nos diz quão grande será a atração gravitacional entre estes dois corpos!

Se a equação (1) nos dá matematicamente a força gravitacional entre dois corpos, então ela também da o valor da força de atração entre qualquer objeto e a Terra! Neste caso a força gravitacional recebe um nome especial: força peso.
Como a massa da Terra nunca muda, a distância entre qualquer objeto e o centro da Terra é aproximadamente sempre o mesmo (mesmo variações de Km não resultam em uma diferença considerável), fazemos o seguinte:

(2)

Assim, nossa equação (1) pode ser reescrita como:

(3)

Se usarmos os valores do lado direito da equação (2), veremos que  . Assim podemos calcular o peso de qualquer corpo aqui na Terra. 

Sendo assim, sabemos que um corpo com maior massa gravitacional possui realmente uma maior força de atração! 
ENTÃO POR QUE "RAIOS" ELE NÃO CAI MAIS RÁPIDO?!?!?!?!?!?!

2 - Primeira Lei de Newton

 A Primeira Lei de Newton, que foi enunciada no mesmo livro da Lei da Gravitação Universal, nos diz:

"Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme
em uma linha reta, a menos que ele seja forçado a mudar aquele estado por forças
imprimidas sobre ele." (Newton, I; pg. 53)  

Também conhecida como Lei da Inércia, ela nos diz que, na ausência de forças, os corpos tendem a permanecer no estado de movimento que estão! Isso é chamado de Inércia!
Todo corpo apresenta uma "resistência" a mudar seu estado de movimento! Mas quão grande é esta resistência?!

3 - Segunda Lei de Newton

Podemos responder à última pergunta com o enunciado da Segunda Lei de Newton:

(4)

Esta lei pode ser resumida na equação (4), onde:  é a força resultante em um determinado corpo (pode ser entendida como a resistência do corpo a mudar seu estado de movimento),  é um coeficiente inercial e  é a aceleração que o corpo tem.
Portanto, ao analisarmos um corpo e identificarmos todas as forças que atuam nele, podemos igualar a soma destas forças à força resultante!

Caso você já tenha sido apresentado a esta lei, você pode ver que há algo de diferente na equação (4)! Não se assuste! Este é o segundo ponto chave para o entendimento do fenômeno!

Agora já temos toda a "bagagem" necessária para o entendimento do fenômeno! Vamos lá:

Voltando na Figura 1 (aquela com um corpo azul e outro vermelho), sabemos que a única força que atua em cada um dos corpos, é a força peso! Portanto, podemos igualar o peso à força resultante! 

Usando as equações (3) e (4), chegamos em:

Então temos que o coeficiente inercial de um dos corpos (azul ou vermelho, tanto faz) multiplicado pela sua aceleração é equivalente à massa gravitacional deste mesmo corpo, mutiplicada pelo valor de .

Vamos reorganizar os termos da equação acima:

Ou seja, a razão entre o coeficiente inercial e a massa gravitacional é equivalente à razão de  e a aceleração do corpo!

Aqui podemos colocar um resultado muito importante descoberto por Galileu: a aceleração de qualquer corpo vale, aproximadamente,  ! Mas este não era o valor de ?!?! Sim!
Isto significa que a razão entre o coeficiente inercial e a massa gravitacional vale 1! Isto é equivalente a dizermos que:

Ou seja, o coeficiente inercial de um corpo é numericamente igual à sua massa gravitacional! Isto é de fato surpreendente!
O coeficiente inercial (que diz o quão difícil é tirar um corpo de seu estado de movimento) é numericamente igual à sua massa gravitacional (que diz o quão forte é a atração gravitacional que este corpo sofre)! São grandezas completamente diferentes mas que tem o mesmo valor! 

Agora podemos parar de chamar de coeficiente inercial e vamos chamar de "massa inercial". Temos então dois tipos de massa: inercial e gravitacional. Conceitualmente são distintas; numericamente são idênticas!

A última igualdade nos diz matematicamente porque corpos com diferentes pesos caem em tempos iguais! Podemos ir mais além e explicar isto de forma qualitativa:

Quando um corpo tem maior massa gravitacional, ele é puxado pela Terra com maior força. Porém, como ele também tem maior massa inercial, ele tem maior resistência a ter seu estado de movimento alterado. Então mesmo sendo puxado com mais força, ele não chega antes ao solo pois é mais difícil fazer com que ele "ande". Como a massa inercial e a massa gravitacional são numericamente iguais, acaba havendo um equilíbrio!
Quando um corpo tem massa gravitacional menor, ele é puxado pela Terra com menor forca! Por outro lado, ele tem menor massa inercial e então tem menor resistência a ter seu estado de movimento alterado! Novamente, há um "equilíbrio"!

Desta forma, somos capazes de entender o porquê de corpos com diferentes massas caírem no mesmo intervalo de tempo! Tudo isso é devido a igualdade entre massa inercial e massa gravitacional!
Não há uma explicação satisfatória do motivo dessas massas serem iguais! Atualmente só podemos dizer que é um estranho e belo fato da natureza! Este "detalhe" é tão precioso que foi de suma importância para Einstein elaborar a teoria da Relatividade Geral.

Espero que tenha gostado desta breve explicação!
Qualquer dúvida e sugestão entre em contato!
Obrigado,
Duane Damaceno.