Paradoxo dos Gêmeos

Se quer ver um exemplo de dilatação temporal assista ao clássico planeta dos macacos (apesar desta imagem ser do filme novo)

Uma das grandes mudanças trazidas pela teoria da relatividade de Einstein, são as concepções contra-intuitivas sobre espaço e tempo. Por vivenciarmos o domínio da física clássica, algumas implicações relativísticas fogem ao senso comum. E assim também o foi durante o fim durante o início do século XX, onde os cientistas estavam predominantemente preocupados em encontrar um referencial absoluto (o éter) e explicar a propagação da luz. Poincaré e Lorentz chegaram a formulações matemáticas aceitáveis e compatíveis com as equações de Maxwell, porém as interpretações eram sempre com a visão da física clássica.

Diante deste quadro é que Einstein introduziu sua teoria da relatividade, que convergiam para um resultado matemático de acordo com as transformações de Lorentz, porém com interpretações físicas que mudavam profundamente a visão Newtoniana vigente a época.

As equações 1 e 2 são as transformações de Lorentz para dois referênciais inerciais R e R’ em movimento relativo uniforme, um em relação ao outro com velocidade V ao longo do eixo X e tempo T, sendo C a velocidade da luz no vácuo e  o fator de Lorentz.

Einstein também incorporou a gravidade em sua teoria da relatividade (esta foi chamada de relatividade geral, enquanto a anterior ficou conhecida como relatividade restrita). Porém o rompimento da noção de um tempo absoluto, já se apresentava na primeira versão da teoria. Explicitava-se uma dependência entre as grandezas físicas (espaço e tempo) com o estado de movimento do observador.

As transformações de Lorentz são simétricas com relação a velocidade, o que significa dizer que um observador B que se move com velocidade v em relação a um observador A parado, é o mesmo que dizer que um observador B é que está parado e o observador A se move com velocidade –v. Sendo assim, faz-se o seguinte experimento mental: Se dois gêmeos são separados, com um na terra e outro partindo numa nave com velocidade comparável a velocidade da luz. Quando o segundo retornar a terra, qual será a relação de idade entre os gêmeos?

Sabendo que o gêmeo que viajou está em uma velocidade comparável a da luz e que haverá dilatação temporal para este, a resposta óbiva seria que de que o gêmeo viajante estaria mais jovem que o outro quando retornasse à terra. Porém como citado acima, devido a invariância das transformações de Lorentz, poderíamos responder que foi o gêmeo que ficou parado enquanto a terra é que movimentou-se. Concluiríamos portanto que o gêmeo da terra é que está mais novo.
Está estabelecido o nosso paradoxo, pois a física clássica exige que apenas uma das respostas seja correta.

Fig 1: Relação de idade entre os gêmeos – retirado de referência [1]

Com uma análise física mais profunda, notamos que trata-se de um pseudo paradoxo com diversos tipos de respostas. Sendo uma delas dada abaixo. 

Iniciamos fazendo uma consideração geométrica sobre o intervalo associado a dois eventos.
A transformação de Lorentz para o tempo (1) pode ser escrita de uma outra forma:

Onde Δt' é o tempo próprio e corresponde a intervalos de tempo para eventos que ocorrem no mesmo local. Este tempo nada mais é do que o tempo marcado pelo relógio que se leva consigo.

Definimos um evento como sendo um conjunto de 4 números reais designando o tempo e a posição com relação a um sistema de referência. No caso dos gêmeos, a sequência de eventos está associada com a mudança de intervalos espaciais.

No sistema de referência que mede o movimento do gêmeo que está viajando pelas transformações de Lorentz, o intervalo é dado pelo tempo próprio do observador dividido pela fator de contração de Lorentz, portanto menor que o tempo próprio do gêmeo que ficou na terra. Assim, o paradoxo é resolvido pois notamos que o intervalo do gêmeo viajante ao longo de toda a viagem é menor do que o do gêmeo terrestre. 

Uma outra abordagem também sugere que o gêmeo que está viajando precisa ser submetido a uma desaceleração para poder fazer o seu regresso à terra. Sendo assim enquanto o gêmeo terrestre permaneceria no mesmo referencial inercial, o gêmeo viajante muda seu referencial durante a viagem. Esta argumentação rompe com a argumentação de que era e terra que se afastava para longe, resolvendo portanto o paradoxo já que não existe equivalência de referenciais.


Referências
[1] MUNDO EDUCAÇÃO. Paradoxo dos gêmeos. Disponível em: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/paradoxo-dos-gemeos.htm> Acesso em 23 de Junho de 2016 

[2] F.T FALCIANO. Cinemática relativística. Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica, v. 29, n. 1, p. 19-24, (2007) Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/%0D/rbef/v29n1/a06v29n1.pdf> Acesso em 23 de Junho de 2016

[3] UEL. Transformações de Lorentz. Disponível em: <http://www.uel.br/pos/fisicaprofissional/pages/arquivos/Eletro/4Lorentz.pdf> Acesso em 23 de Junho de 2016