Bobinas de Helmholtz e C´alculo da Rela¸c˜ao Carga/Massa

Bobinas de Helmholtz e C´alculo da Rela¸c˜ao Carga/Massa do El´etron
Instituto de F´ısica - UFG
F´ısica Experimental V
Jackeline Ribeiro Figueredo
Victor Matheus Oliveira de Andrade
O presente relat´orio descreve um famoso experimento da f´ısica moderna que utiliza um aparato experimental conhecido como Bobinas de Helmholtz. O experimento foi divido em duas partes com objetivo
de primeiro mapear o campo magn´etico produzido por um par de bobinas circulares planas utilizando uma
sonda Hall e a segunda parte usa o mesmo arranjo para determinar a raz˜ao da carga/massa do el´etron a
partir das trajet´orias observadas de um feixe de el´etrons produzido por um tubo de raios cat´odico.
Introdu¸c˜ao e Objetivo
O objetivo deste relat´orio ´e apresentar o experimento realizado com as bobinas de Helmholtz, primeiramente medir o campo magn´etico ao longo da
regi˜ao axial, para diferentes distˆancias entre as duas
bobinas, e depois medir para a regi˜ao radial a forma
que o campo varia.
Ap´os obter os dados discutir a dependˆencia espacial do campo em cada caso por meio de uma an´alise
gr´afica dos pontos obtidos, comparar valores te´oricos
e experimentais para a varredura do campo no eixo
axial e obter o volume total de cada configura¸c˜ao
onde o campo ´e constante.
Na segunda parte o objetivo ´e determinar a raz˜ao
da carga/massa do el´etron usando o arranjo experimental das bobinas que possui um tubo de
raios cat´odicos, sendo uma fonte para a emiss˜ao de
el´etrons), submetendo a diferentes diferen¸cas de potenciais e intensidade de campos magn´eticos, variando a corrente, para ver quais os valores respectivos
para o raio, comprovando a veracidade da equa¸c˜ao
descrita para a carga/massa, montar uma tabela para
cada valor de corrente e tens˜ao fazer a m´edia e calcular o desvio padr˜ao da rela¸c˜ao carga/massa do
el´etron.
O arranjo de duas bobinas circulares planas separadas por uma distˆancia igual ao raio, cada uma contendo N espiras com corrente fluindo nas duas no
mesmo sentido foi idealizado por Helmholtz, com o
qual conseguiu produzir campos magn´eticos uniformes de baixa intensidade sobre um volume relativamente grande.
A corrente I que flui pelas espiras pode ser tanto
corrente cont´ınua (DC) quanto corrente alternada
(AC).
O campo magn´etico produzido por uma espira circular percorrida por uma corrente I pode ser calculado a partir da Lei de Biot-Savart:
dB~ =
µ0I
4π
d
~l × ~p
p
3
(1)
Onde µ0 ´e a permeabilidade magn´etica do v´acuo, ~p
o vetor a partir de elemento condutor d
~l ao ponto de
medida do campo B~ e dB~ ´e perpendicular a ambos
os vetores ~p e d
~l, como mostrado na figura 1.
Figura 1: Desenho esquem´atico de uma espira circular,
percorrida por uma corrente I, para ajudar no c´alculo da
intensidade do campo na dire¸c˜ao do eixo axial da espira.
Como o vetor d
~l ´e perpendicular aos vetores ~p e dB,
e ainda perpendicular ao plano da figura enquanto
que os outros dois vetores est˜ao no plano, a equa¸c˜ao
1 pode ser reescrita como:
dB =
µ0I
4πp2
dl =
I
4π
µ0dl
R2 + z
2
(2)
Sendo z a distˆancia do centro da espira ao ponto
onde estamos calculando o campo. Como mostrado
na figura 1, dB~ pode ser dividido em duas componentes, uma radial dB~
r e outra dB~
z.
1
Para qualquer elemento d
~l que escolhermos na espira a componente dB~
z do campo ter´a sempre a
mesma dire¸c˜ao, podendo, portanto serem somadas,
j´a as componentes dB~
r se anulam aos pares.
Sendo assim o campo na dire¸c˜ao radial ´e nulo. E
o campo ao longo da dire¸c˜ao z (axial) ´e dado por:
B = Bz =
µ0I
2
R2
(R2 + z
2)
3
2
B =
µ0I
2R
1

1 +
z
R

2
 3
2
(3)
O campo magn´etico de uma bobina circular de N
espiras ´e ent˜ao obtido multiplicando-se o numero de
espiras pela equa¸c˜ao 3. Assim o campo ao longo do
eixo das duas bobinas idˆenticas a uma distˆancia a do
centro das bobinas ´e:
B(z, r = 0) = µ0IN
2R
"
1
(1 + A2
1
)
3
2
+
1
(1 + A2
2
)
3
2
#
(4)
Sendo:
A1 =
z −
a
2
R
e A2 =
z +
a
2
R
Quando z = 0, o campo magn´etico tem um valor
m´aximo para a < R e m´ınimo para a > R. A dependˆencia de B com a posi¸c˜ao ao longo do eixo axial
das bobinas ´e virtualmente uniforme para o intervalo
−
R
2 < z < R
2
, quando a = R, como na figura 2.
Figura 2: B(r = 0) em fun¸c˜ao de z com o parˆametro a.
O campo B no ponto m´edio entre as bobinas
quando a separa¸c˜ao a entre elas for igual R ´e:
B(0, 0) = µ0IN
2R
2

5
4

3
2
= 0, 716µ0N
I
R
(5)
Onde escolhemos como origem do sistema de coordenadas o ponto m´edio entre as bobinas sobre o
eixo axial, para uma bobina com N = 154 espiras,
raio R = 20 cm e corrente I = 3,5 A, o valor do
campo B ´e de: B(0, 0) = 2, 42 mT. Atrav´es do
gr´afico mostrado na figura 2, o campo medido foi
de: B(0, 0) = 2, 49 mT. Mostrando a eficiˆencia do
arranjo de Helmholtz para a produ¸c˜ao de campos
magn´eticos de baixa intensidade e uniformes em um
volume relativamente grande.
S˜ao in´umeras as aplica¸c˜oes deste arranjo que ficou
conhecido como Bobinas de Helmholtz, elas v˜ao desde
a determina¸c˜ao das componentes vertical e horizontal
do campo magn´etico terrestre, passando por estudos
do efeito de campos magn´eticos sobre equipamentos
ou componentes eletrˆonicos e at´e em espectrˆometros
de ressonˆancia magn´etica, aqueles existentes em hospitais e que s˜ao usados para fazer imagens.
Tal arranjo foi usada por J.J. Thomson (1897)
para medir a raz˜ao carga/massa do el´etron. A teoria
acerca deste experimento ´e bastante simples. Se um
el´etron de massa m0 ´e acelerado por uma diferen¸ca
de potencial U, sua energia cin´etica ´e dada por:
eU =
1
2
m0v
2
(6)
Onde v ´e a velocidade do el´etron. Se este el´etron
penetrar numa regi˜ao de campo magn´etico de intensidade B~ , a for¸ca do campo sobre o el´etron ´e dada
por:
F~ = e~v × B~ (7)
A equa¸c˜ao 6 ´e conhecida como For¸ca de Lorentz. Se
o campo ´e uniforme, como num arranjo de bobinas de
Helmholtz, o el´etron far´a uma trajet´oria espiralada
ao longo das linhas de for¸ca do campo magn´etico, e no
caso particular quando ~v for paralelo a B~ a trajet´oria
descrita pelo el´etron ser´a circular.
Quando a For¸ca de Lorentz for igual a for¸ca
centr´ıpeta 
m0v
2
r

, a velocidade do el´etron ´e dada
por:
v =
e
m0
Br (8)
Onde r ´e o raio da trajet´oria, e ´e a carga elementar
do el´etron e B ´e a intensidade do campo magn´etico.
Da equa¸c˜ao 6 ´e poss´ıvel obter:
e
m0
=
2U
(Br)
2
(9)
Para calcular a magnitude da componente de B~
ao longo do eixo z, perpendicular ao plano da ´orbita
do feixe de el´etrons e no ponto central ente as duas
bobinas, usa-se as equa¸c˜oes 4 e 5 para a = R. Para as
bobinas usadas no experimento a ser feito R = 20 cm
e N = 154 espiras.
Procedimento Experimental
O aparato experimental utilizado para mapear o
campo magn´etico produzido por bobinas circulares
´e mostrado na figura 3. Ele consiste de uma fonte
de corrente cont´ınua, duas bobinas circulares, um
mult´ımetro, uma sonda Hall, r´eguas e um teslˆametro.
Figura 3: Aparato experimental para o mapeamento do
campo magn´etico de bobinas circulares.
Escolhemos a fonte de corrente continua com o valor que n˜ao ultrapassava 3,5 A durante todo o procedimento. Inicialmente, com a fonte desligada, separamos as bobinas por uma distˆancia de 40 cm (correspondente a 2R) e logo em seguida inserimos a sonda
Hall sobre o raio de uma delas, fazendo com que a
ponta da sonda ficasse exatamente no ponto m´edio
entre as duas bobinas, ou seja, 20 cm.
Figura 4: Montagem para medir B(z, r =0) para
diferentes distˆancias a entre as bobinas.
Assim sendo, ligamos a fonte de corrente fazendo
com que surgisse um campo magn´etico que seria detectado pela sonda Hall. Colocamos a sonda na extremidade do raio da bobina sobre o qual a sonda
estava dentro e come¸camos a movimentar a sonda de
1 cm em 1 cm ate varrer todo o diˆametro da bobina
e assim mapear o campo magn´etico radial completamente.
Ao completar todas as medidas, desligamos a fonte
de corrente e diminu´ımos a distˆancia entre as bobinas para um total de 20 cm (correspondente a
R) e realizamos o mesmo procedimento feito para a
distˆancia de 40cm. Ap´os coletar novamente os dados,
diminu´ımos novamente a distˆancia entre as bobinas
para 10 cm (correspondente a R/2) e repetimos o
procedimento.
Ap´os completar as medidas da componente radial
do campo magn´etico, remanejamos o experimento
para que agora a ponta da sonda ficasse entre as duas
bobinas ao inv´es de passando por dentro de uma delas
como mostrado na figura 5.
Figura 5: Montagem para medir B(z, r) para a = R.
No caso anterior a sonda Hall varria o campo
magn´etico sempre a uma mesma distˆancia que era
o diˆametro da bobina, j´a neste caso agora a sonda
Hall ir´a percorrer apenas a distˆancia que separa
as bobinas, ou seja, a componente axial do campo
magn´etico. Ap´os montar o equipamento para que
fosse poss´ıvel fazer esta medi¸c˜ao ligou-se a fonte de
corrente novamente e colocamos a sonda Hall na extremidade de uma das bobinas e variamos de 1 cm
em 1 cm at´e chegar a outra bobina.
Como a medi¸c˜ao da componente radial havia acabado em uma separa¸c˜ao das bobinas em 10 cm (correspondente a R/2), nossa primeira media¸c˜ao foi com
essa distˆancia de separa¸c˜ao , ou seja, a sonda Hall
come¸cou a mapear o campo pr´oximo a bobina do
lado esquerdo e foi at´e a bobina do lado direito, lendo
assim completamente a componente axial campo.
Ap´os realizarmos rodas as medi¸c˜oes, desligou-se a
fonte de corrente e mudamos novamente o aparato
experimental.
Agora as bobinas eram separadas por uma
distˆancia de 20 cm (correspondente a R). Assim
sendo, repetimos o processo anterior para essa nova
distˆancia, coletamos os dados e remanejamos novamente as bobinas para uma separa¸c˜ao de 40 cm (correspondente a 2R) para ler os dados do novo campo
3
magn´etico que foi gerado.
Ap´os conseguir medir o campo magn´etico sobre essas 3 regi˜oes, podemos seguir para a segunda parte do
experimento que consiste em um par de bobinas circulares, dois mult´ımetros, um tubo de raios cat´odicos
e duas fontes.
Nesta etapa, o tubo de raios cat´odicos fica posicionado no centro da bobina, que est˜ao a uma distˆancia
fixa.
Figura 6: Aparato experimental para a determina¸c˜ao
da carga elementar do el´etron.
Agora o que variamos ser´a a corrente e a fonte de
tens˜ao.
Para a realiza¸c˜ao deste experimento ´e essencial que
a sala esteja escura, uma vez que o feixe de el´etrons
ir´a emanar dentro do tubo e ´e necess´ario que a claridade esteja m´ınima para ser poss´ıvel vˆe-los. Esta
parte ´e bastante simples.
Assim que ligarmos a fonte de tens˜ao e a corrente
um feixe de el´etrons ir´a surgir dentro do tubo. Assim que aplicamos corrente nas bobinas de Helmholtz
surgira um campo magn´etico onde o tubo est´a localizado, fazendo com que assim a trajet´oria dos el´etrons
seja alterada, formando uma trajet´oria circular.
O experimento consiste em variar a corrente (nunca
ultrapassando o valor de 3,5 A) at´e que a trajet´oria
do el´etron adquira um raio igual 2 cm, 3 cm, 4 cm e 5
cm. Para medir este raio, tra¸cos foram posicionados
dentro do tubo de maneira que quando os el´etrons colidem com este tra¸co apenas metade do c´ırculo ficar´a
vis´ıvel.
Sendo assim deve-se anotar os valores da corrente
necess´ario para que a orbita tenha esse formato. Essa
medida deve ser realizada para cada valor de tens˜ao,
variando de 100 V at´e 300 V (de 25 V em 25 V),
uma vez que quanto maior o valor da tens˜ao, mais
concentrado ser´a o feixe de el´etrons que ir´a emergir no
tubo, sendo assim mais f´acil observar a corrente exata
para o qual o raio coincidira com os tra¸cos luminosos
no interior do tubo.
Resultados e Discuss˜ao
A seguir est˜ao representados os dados coletados referentes a primeira parte do experimento para o eixo
radial onde R ´e o raio da bobina que vale de 20 cm.
B (mT)
Posi¸c˜ao (cm) a = R/2 a = R a = 2R
-20 1,11 0,55 0,29
-19 1,22 0,62 0,33
-18 1,35 0,65 0,35
-17 1,70 0,78 0,38
-16 1,92 0,91 0,40
-15 2,03 0,97 0,44
-14 2,07 1,08 0,46
-13 2,07 1,13 0,49
-12 2,04 1,18 0,50
-11 2,00 1,22 0,55
-10 1,97 1,23 0,55
-9 1,92 1,26 0,55
-8 1,89 1,29 0,58
-7 1,85 1,29 0,60
-6 1,81 1,30 0,61
-5 1,79 1,30 0,62
-4 1,77 1,30 0,62
-3 1,76 1,30 0,64
-2 1,75 1,31 0,64
-1 1,74 1,31 0,65
0 1,74 1,31 0,64
1 1,74 1,31 0,64
2 1,75 1,31 0,65
3 1,75 1,31 0,64
4 1,76 1,31 0,63
5 1,78 1,31 0,62
6 1,80 1,30 0,61
7 1,82 1,30 0,59
8 1,86 1,30 0,58
9 1,89 1,28 0,56
4
10 1,93 1,27 0,54
11 1,97 1,25 0,53
12 2,00 1,23 0,50
13 2,04 1,19 0,48
14 2,07 1,15 0,45
15 2,07 1,07 0,42
16 1,89 1,00 0,40
17 1,68 0,91 0,37
18 1,27 0,77 0,33
19 1,20 0,60 0,31
20 1,10 0,55 0,28
Tabela 1: Valores para o campo sobre o eixo radial da
bobina em fun¸c˜ao da distˆancia.
O gr´afico 1 apresenta consigo os dados da tabela 1,
sendo o campo magn´etico B em fun¸c˜ao das posi¸c˜oes
onde estava localizada a sonda, que varia dentro do
intervalo −20 < Posi¸c˜ao (cm) < 20.
Gr´afico 1: gr´afico com os dados da tabela 1.
Na tabela 2 est˜ao apresentados os dados do campo
para o eixo axial onde R ´e o raio da bobina que vale
20 cm.
B (mT)
Posi¸c˜ao (cm) a = R/2 a = R a = 2R
-20 0,17
-19 0,17
-18 0,16
-17 0,16
-16 0,16
-15 0,15
-14 0,15
-13 0,15
-12 0,14
-11 0,14
-10 0,14
-9 0,13
-8 0,17 0,13
-7 0,17 0,13
-6 0,18 0,13
-5 0,18 0,13
-4 0,23 0,19 0,13
-3 0,23 0,19 0,12
-2 0,23 0,19 0,12
-1 0,22 0,19 0,11
0 0,21 0,19 0,11
1 0,22 0,19 0,11
2 0,23 0,19 0,12
3 0,23 0,19 0,12
4 0,23 0,19 0,13
5 0,18 0,13
6 0,18 0,13
7 0,17 0,13
8 0,17 0,13
9 0,13
10 0,14
11 0,14
12 0,14
13 0,15
14 0,15
15 0,15
16 0,16
17 0,16
18 0,16
19 0,17
20 0,17
Tabela 2: Valores para o campo sobre o eixo axial da
bobina em fun¸c˜ao da distˆancia.
5
O gr´afico 2 apresenta consigo os dados te´oricos esperados para esta parte do experimento, afim de compara¸c˜ao, ao analisar estas curvas, pode-se concluir
que elas s˜ao correspondentes, confirmando assim a
caracteriza¸c˜ao dos dados experimentais obtidos.
Gr´afico 2: gr´afico dos pontos contidos na tabela 2.
Analisando os dados onde o campo apresentou ser
constante na componente radial, podemos ver que
ele ´e constante por uma distˆancia de 3 cm quando a
separa¸c˜ao entre as bobinas ´e de R.
Agora analisando a componente axial, vemos que
o campo ´e constante por 7 cm, com esses dados
conseguimos calcular um volume no centro da bobina que representa um campo magn´etico constante,
atrav´es da equa¸c˜ao Vc = πr2h, este volume ´e igual a
Vc = 197, 92 cm3
.
Como o raio ´e 20 cm e a distˆancia entre as duas
bobinas tamb´em ´e de 20 cm o volume total ´e Vt =
25132, 74 cm3
. Portanto, dividindo o volume constante pelo volume total, chegamos que o volume constante representa 0,79% do volume original.
Realizando o mesmo procedimento para a separa¸c˜ao das bobinas de 2R e R/2, onde sabemos
que seu volume ´e Vt = 12566, 37 cm3
e Vt =
50265, 48 cm3
, descobrimos que os volumes constantes s˜ao iguais a Vc = 254, 47 cm3
e Vc = 197, 92 cm3
respectivamente. Portanto, temos os volumes constantes correspondem a 2,03% e 0,39%.
A Tabela 3 mostra os valores do potencial acelerador U e da corrente I, a qual foi ajustada para cada
potencial quando o feixe de el´etrons atingia os raios
predeterminados dentro do tubo de raios cat´odicos.
Se pode ent˜ao fazer uma m´edia da rela¸c˜ao carga
massa do el´etron, portanto chegamos a uma valor de
e/m = 1, 7343 · 1011 As/kg que ´e pr´oximo do valor
te´orico e/m = 1, 75882012 · 1011 As/kg.
R = 2 cm
U (V) I (A) e/m (1011 As/kg)
150 3,13 1,59
175 3,34 1,63
200 3,53 1,67
225 3,78 1,64
250 3,97 1,65
275 4,17 1,65
300 4,40 1,61
R = 3 cm
U (V) I (A) e/m (1011 As/kg)
150 1,99 1,75
175 2,12 2,04
200 2,28 1,78
225 2,44 1,75
250 2,58 1,74
275 2,72 1,72
300 2,85 1,71
R = 4 cm
U (V) I (A) e/m (1011 As/kg)
150 1,40 3,91
175 1,55 1,90
200 1,69 1,82
225 1,80 1,81
250 1,91 1,78
275 2,01 1,77
300 2,09 1,79
R = 5 cm
U (V) I (A) e/m (1011 As/kg)
150 1,12 1,99
175 1,23 1,93
200 1,35 1,83
225 1,44 1,81
250 1,53 1,78
275 1,61 1,77
300 1,67 1,79
Tabela 3: Valores para o campo sobre o eixo radial da
bobina em fun¸c˜ao da distˆancia.
6
Conclus˜ao
Utilizando-se dos dados coletados e dos c´alculos
realizados, verifica-se que o experimento gerou resultados pr´oximos do esperado, mostrando a validade
do m´etodo empregado e das medidas realizadas.
Ao se estudar a uniformidade do campo magn´etico
entre as Bobinas de Helmholtz, vemos que essa uniformidade ´e maior quando a distˆancia entre elas for
igual ao raio das bobinas que as comp˜oem. Portanto,
percebe-se ainda que essas bobinas caracterizam-se
como boas produtoras de campos magn´eticos homogˆeneos culminando assim em diversas aplica¸c˜oes
cient´ıficas/experimentais e tecnol´ogicas.
Dessa forma, conclui-se tamb´em que as bobinas de
Helmholtz de fato s˜ao um bom aparato para determina¸c˜ao da raz˜ao carga/massa do el´etron, pois o resultado apresentado no presente relat´orio est´a bem
pr´oximo do valor te´orico atual.
Bibliografia
[1] J.F. Carvalho, L.J. Queiroz, R.C. Santana. Roteiros dos Experimentos. IF-UFG, 2020.
[2] H. M. Nussensweig, Curso de F´ısica B´asica,
Vols. 3 e 4, Editora Edgard Bl¨ucher, 1997.
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