Interferˆometro de Michelson Medida de ? e do ´?ndice de

Interferˆometro de Michelson
Medida de λ e do ´ındice de refra¸c˜ao de gases
Instituto de F´ısica - UFG
F´ısica Experimental V
Jackeline Ribeiro Figueredo
Victor Matheus Oliveira de Andrade
Nesse relat´orio s˜ao apresentados resultados que foram obtidos se empregando o interferˆometro de
Michelson, se observou o peculiar padr˜ao de interferˆencia produzido e, pela modifica¸c˜ao da configura¸c˜ao
do aparato, se pode calcular o comprimento de onda da luz do laser utilizado e o ´ındice de refra¸c˜ao do
ar para a press˜ao atmosf´erica.
Introdu¸c˜ao e Objetivo
Um dos mais interessantes fenˆomenos da f´ısica
´e conhecido como interferˆencia, ele ´e produzido
quando duas ou mais ondas de mesma frequˆencia,
que guardam entre si rela¸c˜oes de fase constantes no
tempo, o que provoca uma distribui¸c˜ao estacion´aria
de energia ao longo de superf´ıcies que mantidas fixas
no espa¸co.
Segundo a teoria da interferˆencia entre duas ondas, se elas possuem frequˆencia ω e amplitudes a e
fases α diferentes a superposi¸c˜ao destas duas ondas
´e escrita como:
y = a1sen(ωt − α1) + a2sen(ωt − α2) (1)
A onda resultante pode ent˜ao ser dada por:
y = Asen(ωt − α) (2)
Com a seguinte amplitude:
A = a
2
1 + a
2
2 + 2a1a2cos(δ) (3)
onde δ = α1 − α2 ´e a diferen¸ca de fase entre as duas
ondas.
No interferˆometro de Michelson a luz do laser
o feixe monocrom´atico atravessa um espelho semitransparente colocado em um ˆangulo de 45◦ que o
divide em dois feixes, sendo estes refletidos posteriormente por dois espelhos ao espelho semitransparente, para formar o padr˜ao de interferˆencia, evidenciado como c´ırculos concˆentricos projetados no
anteparo conforme ilustrado na figura 1.
Na figura 2 est´a representado padr˜ao de c´ırculos
concˆentricos de interferˆencia depende do laser e
tamb´em da orienta¸c˜ao do espelho semitransparente
e dos espelhos. Na maioria dos casos, se os espelhos
(M1 e M2) estiverem posicionados como na situa¸c˜ao
a, ser´a a forma circular a forma das franjas de interferˆencia. Na situa¸c˜ao b, da forma com os espelhos
Figura 1: Esquema do interferˆometro de Michelson.
Figura 2: Esquema do aparato experimental para
interferˆencia circular a e interferˆencia longitudinal b.
est˜ao posicionados, um cruzando o outro, as franjas
de interferˆencia tender˜ao a assumir forma paralela
e serem igualmente espa¸cadas.
Com base na diferen¸ca de caminho dos feixes de
luz, ´e poss´ıvel assinalar a diferen¸ca de fase como:
δ =
2π
λ
2d cos(θ) (4)
sendo lambda o comprimento de onda da luz.
No experimento a frequˆencia e a intensidade s˜ao
1
iguais. A intensidade da onda resultante ´e dada por:
I ∼ A
2 = 4a
2
cos2

δ
2

(5)
Para valores de delta que seja m´ultiplos de 2π,
a intensidade da onda resultante ´e m´axima (com
θ = 0).
2d cos θ = mλ (6)
onde m = 1, 2, 3, ...
O objetivo deste experimento ´e medir o comprimento de onda de um laser de h´elio-neˆonio (He-Ne)
e o ´ındice de refra¸c˜ao de gases se usando o interferˆometro de Michelson1
.
´Indice de refra¸c˜ao de gases
Outra aplica¸c˜ao do interferˆometro de Michelson ´e
a medi¸c˜ao de ´ındices de refra¸c˜ao de gases, atrav´es da
varia¸c˜ao da press˜ao do g´as por interm´edio de uma
cubeta de comprimento s que ´e fixada no caminho
do feixe do laser. Em que o ´ındice de refra¸c˜ao n de
um g´as ´e linearmente dependente da press˜ao p a que
ele est´a submetido, onde n(0) = 1:
n(p) = n(0) + ∆n
∆p
p (7)
∆n
∆p
=
n(p + ∆p) − n(p)
∆p
(8)
Sendo que o caminho ´optico para o feixe que passa
pela cubeta de comprimento s ´e dado por:
x = n(p) · s (9)
∆x = n(p + ∆p) · s − n(p) · s (10)
Ao iniciar com a press˜ao ambiente p0 e diminuindo a press˜ao at´e um valor p, se observa que
o padr˜ao de interferˆencia com o centro escuro, por
exemplo, se repetir´a N vezes, onde cada mudan¸ca de
m´ınimo (claro-escuro-claro) corresponde a varia¸c˜ao
de um comprimento de onda no caminho ´otico. Assim a varia¸c˜ao do caminho ´otico entre p e p + ∆p ´e
dada por:
∆x = {N(p) − N(p + ∆p)} · λ (11)
Como o feixe de luz atravessa duas vezes a cubeta,
a varia¸c˜ao do ´ındice de refra¸c˜ao ser´a dada por:
n(p + ∆p) − n(p) = N(p) − N(p + ∆p)
λ
2s
(12)
Com esta equa¸c˜ao e com a equa¸c˜ao (3) ´e poss´ıvel
escrever:
∆n
∆p
= −
∆N
∆p
λ
2s
(13)
1Este interferˆometro foi inventado por Albert Abraham
Michelson em 1881, para estudar teorias do ´eter.
Sendo ∆n/∆p determinado a partir do gr´afico 1
entre o n´umero de varia¸c˜oes do padr˜ao de interferˆencia versus a press˜ao, e o ´ındice de refra¸c˜ao n
a partir da equa¸c˜ao (13) e da equa¸c˜ao (7).
Caminho ´otico
Caminho ´otico pode ser definido como a extens˜ao
do trajeto efetivamente percorrido pela luz em um
dado meio multiplicado pelo ´ındice de refra¸c˜ao desse
meio.
Caminho geom´etrico
Caminho geom´etrico ´e aquele esperado segundo o
prolongamento dos raios levando em conta todo o
tra¸cado geom´etrico (ˆangulos). Ou seja, o caminho
´optico leva em considera¸c˜ao o ´ındice de refra¸c˜ao e o
caminho geom´etrico se utiliza deste.
Laser
A palavra laser foi criada a partir das iniciais de
Light Amplifier by Stimulated Emission of Radiation que significa: amplificador de luz por emiss˜ao
estimulada da radia¸c˜ao. Portanto um laser ´e uma
fonte de luz, cujo princ´ıpio de funcionamento ´e baseado na emiss˜ao estimulada da radia¸c˜ao, o que permite a sua amplifica¸c˜ao. Em consequˆencia disto, as
caracter´ısticas principais desta fonte de luz s˜ao intensidade, direcionalidade e coerˆencia.
O laser ´e basicamente um amplificador ´otico. Ele
amplifica luz de modo semelhante ao amplificador
ac´ustico. No caso de um viol˜ao ocorre a amplifica¸c˜ao
do som produzido pelas cordas atrav´es da caixa de
ressonˆancia do instrumento.
Existem v´arios tipos de laser: os lasers a g´as, por
exemplo o laser de h´elio-neˆonio (He-Ne) e o de CO2,
de alta potˆencia, lasers de l´ıquido, como os de corantes, e os lasers de estados s´olido (caneta-laser,
laser dos CDs, etc).
Figura 3: Aparato experimental utilizado na medida
do comprimento de onda.
No caso do laser a g´as, existe um meio ativo que
gera luz (por exemplo ´atomos de h´elio- neˆonio HeNe). Uma lˆampada flash ou uma corrente el´etrica
cede energia aos ´atomos que constituem o g´as (os
excita). Os el´etrons dos ´atomos passam a ocupar
estados de mais alta energia, caracter´ısticos de cada
2
´atomo do g´as. Ao retornarem aos seus estados originais de mais baixa energia h´a emiss˜ao de f´otons
(luz), conforme ilustrado na figura 3.
Figura 4: Aparato experimental utilizado na medida
do comprimento de onda.
Existem dois modos pelos quais um ´atomo excitado pode voltar ao seu estado original de mais
baixa energia e emitir um f´oton. A emiss˜ao pode
ser (a) espontˆanea ou (c) estimulada conforme ilustrado na figura 4, a figura tamb´em ilustra o processo
de absor¸c˜ao.
(a) Se o el´etron se encontra no n´ıvel superior de
energia Ej ele pode voltar espontaneamente para
o n´ıvel mais baixo Ei de maneira aleat´oria e em
qualquer dire¸c˜ao. O pacote de luz ou f´oton de luz
emitido num dado instante ter´a caracter´ısticas diferentes do f´oton emitido antes ou depois.
(b) Se um f´oton de luz de energia E igual `a diferen¸ca Ej −Ei
, incide em um ´atomo que tem el´etrons
no n´ıvel de energia Ei ele pode ser absorvido pelo
´atomo colocando um dos el´etrons do n´ıvel de energia
Ei no n´ıvel Ej .
(c) Se um el´etron se encontra no n´ıvel Ej de
energia e ainda incide um f´oton de luz de energia
E = Ej −Ei este f´oton pode induzir o el´etron a descer para o n´ıvel Ei
, gerando outro f´oton que ter´a as
mesmas caracter´ısticas do f´oton incidente, em particular dire¸c˜ao, polariza¸c˜ao e frequˆencia, est´a ´e a
emiss˜ao induzida ou estimulada.
Na emiss˜ao estimulada (c), um f´oton incidente estimula o ´atomo excitado a emitir um f´oton idˆentico
ao primeiro. Os f´otons emitidos induzem os demais
´atomos excitados a emitirem novos f´otons idˆenticos,
gerando um processo em cascata. Este processo produz luz monocrom´atica e coerente.
A luz gerada no laser, para ser amplificada, necessita de uma cavidade ´otica. Dois espelhos paralelos
d˜ao conta do recado. A luz bate num espelho e reflete de volta no outro espelho e assim por diante.
Neste vai e vem a intensidade da luz ´e amplificada.
Na pr´atica a cavidade ´otica do laser ´e formada por
um espelho cˆoncavo e um espelho plano.
Para a realiza¸c˜ao desse experimento usamos um
laser de h´elio-neˆonio He-Ne, neste tipo de laser, os
´atomos do g´as nobre neˆonio constituem o meio ativo
do laser, s˜ao eles que emitem luz que ao atingir outros ´atomos de neˆonio contidos na cavidade laser, os
estimulam a tamb´em emitir o mesmo tipo de luz.
Diodo laser
O laser a semicondutor, tamb´em chamado de diodo laser, ´e composto pela jun¸c˜ao de duas camadas de semicondutores com diferentes caracter´ısticas
el´etricas. Ao ser percorrido por uma corrente
el´etrica, o semicondutor (geralmente arseneto de
g´alio, arseneto de ´ındio, nitreto de g´alio, etc) permite que cada el´etron que se combina com uma lacuna na regi˜ao da jun¸c˜ao emita um f´oton.
O laser semicondutor tamb´em tem uma cavidade
´otica contendo dois espelhos paralelos entre si e perpendicular `a radia¸c˜ao, e esta cavidade permite que
a luz seja refletida v´arias vezes at´e sair pelo espelho
menos refletor. As extremidades do diodo laser s˜ao
clivadas, ou seja, cortadas em planos paralelos `as faces do cristal semicondutor, atuando como espelhos
semitransparentes como segue a figura 5.
Figura 5: Representa¸c˜ao esquem´atica do
funcionamento de um laser diodo.
No diodo laser, o est´ımulo no meio ativo ´e mais intenso, com correntes maiores e al´em disso a pr´opria
estrutura do material favorece a absor¸c˜ao de uma
quantidade maior de energia e portanto a obten¸c˜ao
da condi¸c˜ao de invers˜ao de popula¸c˜ao. Quando a
energia ´e devolvida, o dispositivo emite ent˜ao a radia¸c˜ao que caracteriza o laser.
Procedimento Experimental
O aparato experimental utilizado neste experimento ´e mostrado na figura x. Ele consiste de um interferˆometro de Michelson, um laser de He-Ne, uma
lente de 20 mm de foco, uma cubeta de 10 mm comprimento, bomba de v´acuo manual com manˆometro
e um anteparo.
Para determinar o ´ındice de refra¸c˜ao de gases,
se colocou a cubeta de comprimento s caminho do
feixe do laser, pr´oxima ao espelho fixo. Se ajustou
o interferˆometro e a lente para obter um padr˜ao de
c´ırculos concˆentricos. Iniciando da press˜ao ambiente (po = 1004 mbar) diminuiu a press˜ao usando
a bomba de v´acuo anotando o n´umero de m´ınimos
que chegam ao centro do padr˜ao de interferˆencia
(n´umero de per´ıodos).
3
Figura 6: Aparato experimental utilizado na medida
do comprimento de onda.
Resultados e Discuss˜ao
Na tabela 1 s˜ao mostrados quatro resultados para
o comprimento de onda λ, como valor final consideramos a m´edia λ¯ = 629, 5 nm, o desvio percentual com rela¸c˜ao ao valor nominal para o laser de
632, 8 nm foi de 0, 5%.
∆d (mm) λ (nm)
0,1620 648
0,1535 614
0,1470 588
0,1670 668
Tabela 1: Medidas da varia¸c˜ao total de d para 500
oscila¸c˜oes no padr˜ao de interferˆencia e λ calculado.
A tabela 2 mostra os valores da press˜ao na cubeta em fun¸c˜ao dos 7 primeiros per´ıodos contados
no experimento.
N p (mbar) M´edia
7 117 120 120 119 119,00
6 220 240 240 233 233,25
5 337 341 360 346 346,00
4 460 480 495 478 478,25
3 578 595 600 591 591,00
2 715 720 720 718 718,25
1 822 840 825 829 829,00
Tabela 2: Dados e resultados do experimento
considerando U = 325 V e o total de 30 gotas.
Atrav´es da m´edia das press˜oes de cada per´ıodo,
fizemos o gr´afico 1 para obter o coeficiente ∆N/∆p
por meio da equa¸c˜ao 7 e por fim obtemos a fun¸c˜ao
do ´ındice de refra¸c˜ao em rela¸c˜ao a press˜ao usando
a equa¸c˜ao 13. Obtemos como coeficiente angular
deste gr´afico o valor de 3, 147 · 10−5 mbar−1
Gr´afico 1: Per´ıodo N × M´edia das press˜oes (mbar).
Com este coeficiente obtemos ∆n/∆p = 3, 14 ·
10−7 mbar−1
, de forma que a seguinte fun¸c˜ao para
o ´ındice de refra¸c˜ao ´e:
n(p) = 1 + (3, 14 · 10−7
)p (14)
Obtemos ent˜ao o valor de 1,00032 para o ´ındice de
refra¸c˜ao do ar a press˜ao ambiente de (1021 mbar).
Vendo que o valor te´orico do ´ındice do ar ´e igual a
nar = 1,0003, encontramos uma diferen¸ca percentual de 0,002%.
Conclus˜ao
O experimento refor¸cou novamente a utilidade de
um interferˆometro de Michelson, se mostrando eficiente para medir comprimentos de onda da ordem
de 10−9 m, indicando portanto, a proximidade do
valor obtido com o te´orico.
Se adotarmos m = 1 e cos(θ) = 1, teremos a
menor medida que um interferˆometro de Michelson pode nos fornecer, ou seja, d = λ/2. Assim,
se sabendo o comprimento de onda, se determina a
menor medida que se pode aferir com este arranjo.
Para esse caso, como foi utilizada uma luz monocrom´atica com comprimento de onda de 632,8 nm,
´e poss´ıvel medir distˆancias de at´e 0,316 µm.
Pode se notar que o interferˆometro de Michelson ´e
adequado para a medida de ´ındices de refra¸c˜ao, provendo valores muito pr´oximos do te´orico e indicando
que as franjas de interferˆencia vistas no anteparo s˜ao
alteradas a medida que se altera a press˜ao do g´as,
revelando assim a dependˆencia linear entre elas.
Bibliografia
[1] J.F. Carvalho, L.J. Queiroz, R.C. Santana.
Roteiros dos Experimentos. IF-UFG, 2020.
[2] H. M. Nussensweig. Curso de F´ısica B´asica.
Vols. 2 e 4. Editora Edgard Bl¨ucher, 1997.
[3] Y. D. Hugh F´ısica IV: Otica e F´ısica Moderna ´ .
S˜ao Paulo: Addison Wesley, 2009.
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