Dependˆencia da condutividade el´etrica com a temperat

Dependˆencia da condutividade el´etrica com a temperatura
Instituto de F´ısica - UFG
F´ısica Experimental V
Jackeline Ribeiro Figueredo
Victor Matheus Oliveira de Andrade
Neste experimento foi estudada a dependˆencia com a temperatura da condutividade e da resistividade
de dois materiais distintos, um semicondutor (Ge tipo p) e um metal (Cu), respectivamente. Para o
semicondutor foi determinado o valor do gap de energia para uma certa faixa de temperatura, e para o
metal foi verificado a dependˆencia linear da resistividade com a temperatura.
Introdu¸c˜ao e Objetivo
Alguns resultados que dizem respeito aos el´etrons de condu¸c˜ao em metais podem ser obtidos a partir de
ideias cl´assicas. Na ausˆencia de um campo el´etrico aplicado, esses el´etrons se movem em dire¸c˜oes aleat´orias.
Isso ocorre pelo fato de os el´etrons frequentemente colidirem com imperfei¸c˜oes da rede cristalina do metal,
produzidas pela a agita¸c˜ao t´ermica dos ´ıons de impurezas da rede. Ao colidir com essas imperfei¸c˜oes, os
el´etrons mudam de dire¸c˜ao e velocidade, o que torna seu movimento aleat´orio. Como no caso de colis˜oes
moleculares num g´as cl´assico, podemos descrever a frequˆencia das colis˜oes el´etron-imperfei¸c˜oes da rede
atrav´es de um livre caminho m´edio λ, onde λ ´e a distˆancia m´edia percorrida por um el´etron entre colis˜oes.
Quando um campo el´etrico ´e aplicado ao metal, os el´etrons modificam seus movimentos aleat´orios, de
modo que eles se deslocam lentamente na dire¸c˜ao oposta `a do campo, pois suas cargas s˜ao negativas, com
uma velocidade dita de deriva vd. Esta velocidade ´e muito menor do que a velocidade instantˆanea real ¯v,
do movimento aleat´orio. No cobre, ¯v ´e da ordem de 102
cm/s, enquanto que ¯v ´e de cerca de 107
cm/s.
A velocidade de deriva pode ser calculada em termos do campo el´etrico aplicado E, de ¯v e de λ.
Quando se aplica um campo sobre um el´etron num metal ele sofrer´a um for¸ca de intensidade eE, que
produzir´a uma acelera¸c˜ao de m´odulo a, dada por:
a =
eE
m
(1)
Considerando agora um el´etron que acabou de colidir com um imperfei¸c˜ao da rede. Em geral, a colis˜ao
destruir´a momentaneamente a tendˆencia ao deslocamento na dire¸c˜ao antiparalela ao campo e o el´etron se
movimentar´a de forma puramente aleat´orio, ap´os a colis˜ao. Pouco antes de sua pr´oxima colis˜ao, o el´etron
ter´a variado sua velocidade, em m´edia de, onde τ = λ/¯v ´e o tempo m´edio entre as colis˜oes:
v =
aλ
v¯
(2)
Definimos a velocidade de arrastamento como:
vd =
aλ
v¯
=
eEλ
mv¯
(3)
Se n for o n´umero de el´etrons de condu¸c˜ao por unidade de volume e j for a densidade de corrente:
vd =
j
ne
=
eEλ
mv¯
(4)
Combinando a equa¸c˜ao (4) com a defini¸c˜ao de velocidade de resistividade ρ = E/j, teremos:
ρ =
mv¯
ne2λ
(5)
1
A equa¸c˜ao 5 pode ser considerada como uma afirma¸c˜ao de que os metais obedecem a lei de Ohm, pois
as grandezas ¯v e λ que determinam a resistividade ρ n˜ao dependem do campo el´etrico aplicado, crit´erio
necess´ario para que a lei seja v´alida.
Com frequˆencia operamos com a condutividade:
σ =
1
p
=
ne2λ
mv¯
=
ne2
τ
m
(6)
sendo τ = λ/v¯ (tempo m´edio entre as colis˜oes), onde e e m s˜ao respectivamente a carga e a massa do
el´etron. O parˆametro τ ´e caracter´ıstico de cada material e depende fundamentalmente da temperatura e
da presen¸ca de defeitos e impurezas.
Com rela¸c˜ao a teoria cl´assica da condu¸c˜ao de eletricidade (modelo de Drude) os el´etrons livres de um
metal s˜ao tratados como um g´as de part´ıculas cl´assicas que obedecem `a estat´ıstica de Boltzmann. Isto
resulta que a energia cin´etica m´edia de uma part´ıcula ´e 3
2
kbT. O modelo considerado mais simples para os
el´etrons livres de um metal ´e o de g´as de part´ıculas n˜ao interagentes confinados a uma caixa. A diferen¸ca
do modelo de Drude ´e que se tem que usar a estat´ıstica de Fermi e n˜ao a estat´ıstica de Boltzmann.
A varia¸c˜ao com a temperatura da resistividade el´etrica ρ de metais que ´e igual a 1/σ ´e usualmente
descrita pela seguinte express˜ao de origem emp´ırica:
ρ = ρ0[1 + α(T − T0)] (7)
sendo α denominado de coeficiente de temperatura da resistividade, T0 ´e uma temperatura de referˆencia
arbitr´aria e ρ0 ´e a resistividade nessa temperatura. Essa rela¸c˜ao ´e uma aproxima¸c˜ao linear v´alida geralmente em faixas limitadas de varia¸c˜ao de temperatura dependente do material.
Como ´e poss´ıvel ver na tabela 1, h´a uma grande varia¸c˜ao nas resistividades, desde valores muito baixos
para bons condutores, tais como o cobre a prata, at´e valores muito elevados para bons isolantes, tais como o
vidro. Um condutor ideal ou perfeito teria resistividade nula e um isolante ideal teria resistividade infinita.
Material Resistividade (Ω · m) Coeficiente de Temperatura (K−1
)
Prata 1, 59 · 10−8 3, 8 · 10−3
Cobre 1, 72 · 10−8 3, 9 · 10−3
Germˆanio 0, 46 −4, 8 · 10−2
Vidro 10−10 ∼ 10−14
-
Quartzo 7, 5 · 1015
-
Tabela 1: Resistividade e coeficiente de temperatura de alguns materiais.
Considerando um material de comprimento L e se¸c˜ao transversal de ´area A submetido a um campo
el´etrico uniforme que induz uma densidade de corrente j ao longo de seu comprimento e estabelece uma
diferen¸ca de potencial eletrost´atico U nos terminais, e definindo a corrente el´etrica como i = j ·A, se pode
calcular a condutividade como segue:
σ =
1
ρ
=
iL
UA (8)
A condutividade el´etrica de semicondutores pode ser descrita por uma express˜ao similar `a equa¸c˜ao 7,
mas com a diferen¸ca de que pode haver mais de um tipo de portador de carga, inclusive com diferentes
massas efetivas. A concentra¸c˜ao de portadores n, varia fortemente com a temperatura, devido `a excita¸c˜ao
t´ermica de portadores nas bandas de valˆencia e/ou de condu¸c˜ao.
E poss´ıvel mostrar que a condutividade el´etrica dos semicondutores apresenta em determinadas faixas ´
de temperatura uma varia¸c˜ao t´ermica (em geral acima da temperatura ambiente) da forma:
σ = σ0e
−Eg/2KBT
(9)
onde σ ´e a condutividade intr´ınseca, σ0 uma constante, KB a constante de Boltzmann e T a temperatura.
A largura da banda proibida pode ser determinada a partir da varia¸c˜ao da condutividade com a
temperatura na faixa intr´ınseca de temperatura. A equa¸c˜ao 10 pode ainda ser escrita na forma:
ln σ = ln σ0 −
Eg
2KBT
(10)
2
Quando consideramos um potencial cristalino entramos no estudo de teoria de bandas e conseguimos
um explica¸c˜ao bem detalhada dos diversos tipos de materiais, classificando-os em metais, semicondutores
e isolantes. Em um s´olido temos um grande n´umero de ´atomos, consequentemente um grande n´umero de
n´ıveis de energia pr´oximos uns dos outros formando uma banda de energia praticamente cont´ınua.
A principal diferen¸ca entre um metal e um semicondutor ´e o gap de energia, que ´e a diferen¸ca entre o
m´aximo da banda de valˆencia e o m´ınimo da banda de condu¸c˜ao. Para um metal o gap de energia ´e nulo,
j´a para um semicondutor ´e da ordem de KBT e para um isolante ´e maior que KBT, sendo mostrada na
figura 1 uma representa¸c˜ao ilustrativa do gap de energia entre a banda de condu¸c˜ao e a banda de valˆencia
para o metal, semicondutor e isolante.
Figura 1: Ilustra¸c˜ao do gap de energia para o metal, semicondutor e isolante.
O objetivo deste relat´orio ´e discutir as diferen¸cas b´asicas entre metais e semicondutores, observando
a condutividade em fun¸c˜ao da temperatura, calcular a energia do gap de energia do semicondutor e
comparar o valor esperado com o obtido experimentalmente. Aqui foi estudada a dependˆencia com a
temperatura da condutividade e da resistividade de dois materiais distintos, um semicondutor (Ge) e um
metal (Cu). Para o semicondutor foi determinado o valor do gap de energia para uma certa faixa de
temperatura, e para o metal foi verificado a dependˆencia linear da resistividade com a temperatura.
Procedimento Experimental
O arranjo experimental para esta etapa se encontra esquematizado na figura 2 e as conex˜oes el´etricas
est˜ao mostradas na figura 3. Ele consiste de uma placa de germˆanio, uma placa de cobre, um volt´ımetro,
um amper´ımetro, um termopar e uma fonte de tens˜ao.
Figura 2: Aparato experimental para realiza¸c˜ao das medidas de condutividade el´etrica.
Se conectou a amostra de germˆanio com dimens˜ao de 20 × 10 × 1 mm3 `a sa´ıda de tens˜ao cont´ınua
da fonte atrav´es de um resistor e prote¸c˜ao e aplica-se uma corrente de at´e 30 mA. A amostra ´e ent˜ao
aquecida at´e uma temperatura na faixa de 130 −140 oC, com a tens˜ao Vterm em torno de 5-6 mV e ent˜ao
se registrou os valores de da tens˜ao, temperatura e corrente durante o resfriamento livre da amostra.
Na parte traseira da placa de circuito impresso se encontra o enrolamento respons´avel pelo aquecimento
da amostra, o qual ´e alimentado pela tens˜ao (AC) da fonte de tens˜ao. Ent˜ao se aumentou progressivamente
a voltagem de aquecimento para permitir um lento aquecimento da amostra.
3
Figura 3: Conex˜oes el´etricas para realiza¸c˜ao das medidas de condutividade el´etrica.
Resultados e Discuss˜ao
Com os dados coletados calculamos as m´edias das 3 medidas realizadas, obtemos a resistˆencia e
condutividade para o cobre e germˆanio. Os resultados para o cobre s˜ao apresentados na tabela 2.
Temperatura (K) Tens˜ao (V) Corrente (A) Resistˆencia (Ω)
403,15 0,178 0,1033 1,72
398,15 0,175 0,1033 1,69
393,15 0,173 0,1034 1,67
388,15 0,171 0,1033 1,66
383,15 0,169 0,1033 1,64
378,15 0,167 0,1033 1,62
373,15 0,165 0,1033 1,60
368,15 0,163 0,1034 1,58
363,15 0,161 0,1032 1,56
358,15 0,159 0,1032 1,54
353,15 0,160 0,1033 1,55
348,15 0,154 0,1033 1,49
343,15 0,152 0,1033 1,47
338,15 0,149 0,1034 1,44
333,15 0,147 0,1034 1,42
328,15 0,145 0,1033 1,40
323,15 0,142 0,1032 1,38
318,15 0,140 0,1031 1,36
313,15 0,138 0,1031 1,34
308,15 0,136 0,1031 1,32
303,15 0,133 0,1032 1,29
Tabela 2: Dados de tens˜ao, corrente, temperatura e resistˆencia obtidos para o cobre.
4
Com os c´alculos realizados, foi poss´ıvel plotar o gr´afico 1 de resistˆencia em fun¸c˜ao da temperatura
com os dados da tabela 2 referentes ao cobre.
Gr´afico 1: Resistˆencia pela temperatura.
Da regress˜ao linear do cobre encontramos os seguintes valores, relacionado com a equa¸c˜ao 7:
ρ = (2, 47 · 10−8 ± 1, 32 · 10−9
) + (3, 63 · 10−3 ± 2, 01 · 10−4
)T
Obtemos para o cobre de ρ0 = (2, 47 · 10−8 ± 1, 32 · 10−9
)Ω · m e α = (3, 63 · 10−3 ± 2, 01 · 10−4
)K−1
. O
valor do coeficiente de temperatura para o cobre ´e de 3, 9·10−3K
−1
, que resulta numa diferen¸ca percentual
de 4α = 6, 92%.
Os resultados para o germˆanio s˜ao apresentados na tabela 3. Com os c´alculos realizados, foi poss´ıvel
plotar o gr´afico 2 de resistˆencia em fun¸c˜ao da temperatura, o gr´afico 3 da condutividade pelo inverso da
temperatura e o gr´afico 4 do logaritmo natural da condutividade pela inverso da temperatura.
Temperatura (K) Tens˜ao (V) Corrente (A) Resistˆencia (Ω) Condutividade (Ω · m)−1
403,15 0,175 0,00703 24,89 80,34
398,15 0,193 0,00694 27,81 71,92
393,15 0,214 0,00683 31,33 63,83
388,15 0,237 0,00671 35,32 56,62
383,15 0,263 0,00657 40,03 49,96
378,15 0,283 0,00646 43,81 45,65
373,15 0,305 0,00527 57,87 34,56
368,15 0,325 0,00624 52,08 38,40
363,15 0,343 0,00614 55,86 35,80
358,15 0,356 0,00606 58,75 34,04
353,15 0,365 0,00602 60,63 32,99
348,15 0,370 0,00600 61,67 32,43
343,15 0,371 0,00600 61,83 32,35
338,15 0,370 0,00601 61,56 32,49
5
Temperatura (K) Tens˜ao (V) Corrente (A) Resistˆencia (Ω) Condutividade (Ω · m)−1
333,15 0,366 0,00602 60,80 32,90
328,15 0,360 0,00606 59,41 33,67
323,15 0,353 0,00609 57,96 34,50
318,15 0,345 0,00610 56,56 35,36
313,15 0,336 0,00619 54,28 36,85
308,15 0,327 0,00623 52,49 38,10
303,15 0,317 0,00629 50,40 39,68
Tabela 3: Dados de tens˜ao, corrente, temperatura, resistˆencia e condutividade obtidos para o germˆanio.
Gr´afico 2: Resistˆencia pela temperatura.
Gr´afico 3: Condutividade pelo inverso da temperatura.
6
Gr´afico 4: Logaritmo natural da condutividade pela inverso da temperatura
Para a segunda parte foi feito os c´alculos da forma semelhante, por´em iniciamos o c´alculo da resistividade para a obten¸c˜ao da condutividade. Plotamos o gr´afico Da equa¸c˜ao 9 temos a condutividade de um
semicondutor com uma dependˆencia exponencial, com isto plotamos um gr´afico da condutividade pelo
inverso da temperatura e obtivemos o seguinte resultado apresentado no gr´afico 3.
Assim, a partir dos dados considerados, calculamos a logaritmo natural da equa¸c˜ao 9, o que resultou
na equa¸c˜ao 10, de posse desse resultado conseguimos obter um gr´afico linear do logaritmo natural da
condutividade com a dependˆencia de 1/T, sendo este o gr´afico 4. Com os coeficiente angular do gr´afico 4
calculado com o m´etodo de regress˜ao linear, foi poss´ıvel obter a energia de gap para o germˆanio. O valor
experimental para a energia de gap foi de Eg = 0, 37 eV. Este resultado em rela¸c˜ao ao valor da literatura
de Eg ≈ 0, 7 eV, tem uma diferen¸ca percentual de ∆Eg = 47, 1%.
As poss´ıveis causas de erro, em ambas as partes do experimento podem ser atribu´ıdas ao mal contato
entre as conex˜oes e um sistema de medida de temperatura n˜ao muito eficiente.
Conclus˜ao
Conforme as defini¸c˜oes deste relat´orio, foi observado diferentes comportamentos entre um condutor
e um semicondutor quando a temperatura influencia nas propriedades da resistividade e condutividade.
Conseguimos observar o comportamento linear da resistividade com a varia¸c˜ao de temperatura para o
metal, o cobre, e o comportamento exponencial decrescente da condutividade para o semicondutor, o
germˆanio. Assim os resultados obtidos pela an´alise da condutividade do germˆanio foram condizentes
com a previs˜ao te´orica somente para uma faixa limitada de temperatura (superior a 70 ◦C), pois para
temperaturas menores a condutividade se comportou de maneira inesperada como ´e poss´ıvel ver no gr´afico
4. J´a para o cobre, a condutividade apresentou o comportamento linear esperado pois o mesmo possui
essa caracter´ıstica fundante em sua configura¸c˜ao.
Bibliografia
[1] J.F. Carvalho, L.J. Queiroz, R.C. Santana. Roteiros dos Experimentos. IF-UFG, 2020.
[2] R. Robert, H. David. Fundamentos de F´ısica. 8 ed. LTC, 2009. Vol. 03.
[3] M. N. Herch. Curso de F´ısica B´asica: Eletromagnetismo, 4 ed. Edgard Bl¨ucher, 2002. Vol. 3.
[4] Y. D. Hugh F´ısica III: Eletromagnetismo. S˜ao Paulo: Addison Wesley, 2009.
7