Determina¸c˜ao da carga elementar: experiˆencia de Millikan

Determina¸c˜ao da carga elementar: experiˆencia de Millikan
Instituto de F´ısica - UFG
F´ısica Experimental V
Jackeline Ribeiro Figueredo
Victor Matheus Oliveira de Andrade
Este relat´orio tem como objetivos principais medir o tempo de subida e o de descida de gotas de ´oleo
com v´arias cargas em diferentes voltagens e, a partir destes tempos determinar as velocidades, o raio, a
carga de cada gota e o valor da carga elementar. Conseguimos concluir que de fato a carga ´e quantizada
e que a carga elementar segundo este experimento possui um valor de e = (1, 5998 ± 0, 0097)· 10−19 C.
Introdu¸c˜ao e Objetivo
Em 1909, Robert A. Millikan, um f´ısico inglˆes, publicou os resultados de um dos experimentos de
maior relevˆancia na hist´oria da f´ısica: a determina¸c˜ao da carga el´etrica elementar.
O experimento consiste em borrifar got´ıculas ´oleo ionizadas dentro de um condensador confinando-as
com um campo el´etrico, e medindo as velocidades de subida e de descida das gotas dentro do condensador.
Millikan verificou que invertendo a polaridade do campo el´etrico do condensador a dire¸c˜ao de movimento
das gotas tamb´em era invertida. Ent˜ao com estes dados e a partir da an´alise das for¸cas atuantes nas
gotas, ele calculou seu raio e sua carga.
Neste procedimento coexistem diversas for¸cas (el´etrica, gravitacional, empuxo e viscosidade) interagindo com a gota, de forma que a for¸ca resultante sobre a gota pode ser escrita como:
F~ = F~E + F~
P + F~Em + F~
V (1)
Para a for¸ca el´etrica F~E, temos que Q = ne ´e a carga da gota e d = (2, 50 ± 0, 01 mm) a distˆancia
entre os eletrodos do capacitor a uma diferen¸ca de potencial U, de forma que podemos escrever:
F~E = QE = Q
U
d
(2)
F~
P corresponde a for¸ca gravitacional em rela¸c˜ao a gota de massa m, volume V e densidade ρ1 =
1, 03 · 103 kg · m−3
, submetidas a acelera¸c˜ao da gravidade g = 9, 8 m/s2
.
FP = mg = V gnρ1 (3)
A for¸ca de empuxo F~Em exercida sobre a gota est´a abaixo, sendo que ρ2 = 1, 0293 kg · m−3 ´e a
densidade do ar.
FEm = V gρ2 (4)
FV ´e a for¸ca de viscosidade com η = 1, 82 · 10−5 kg/m · s, viscosidade do ar. Atribu´ıda a uma gota
esf´erica com raio r e velocidade v:
FV = 6πrvη (5)
Por meio das equa¸c˜oes (1), (2), (3), (4) e (5) acima podemos encontrar as velocidades de subida
(equa¸c˜ao 6) e de descida (equa¸c˜ao 7) das gotas:
v1 =
1
6πrη 
QE +
4
3
πr3
g(ρ1 − ρ2)

(6)
v2 =
1
6πrη 
QE −
4
3
πr3
g(ρ1 − ρ2)

(7)
1
Quando subtra´ıdas estas express˜oes nos d˜ao tanto a carga Q quanto o raio r para cada gota, conforme
encontrado por Millikan:
Q = C1
v1 + v2
U
√
v1 − v2 (8)
Sendo:
C1 =
9
2
πds
η
3
g(ρ1 − ρ2)
(9)
C1 = 2, 73 × 10−11 kg · m
√
m · s
Sendo:
r =
p
C2(v1 − v2) (10)
Onde a constante C2 ´e dada por:
C2 =
3
2
r η
g(ρ1 − ρ2)
(11)
C2 = 6, 37 × 10−5√
m · s
Este experimento tem como objetivos principais medir o tempo de subida e o de descida de gotas de
´oleo com v´arias cargas em diferentes voltagens e, a partir destes tempos determinar as velocidades, o raio,
a carga de cada gota e o valor da carga elementar.
Procedimento Experimental
O presente experimento foi realizado utilizando o aparato experimental mostrado na figura 1, o qual
consiste de uma fonte de tens˜ao vari´avel, dois cronˆometros, uma chave inversora, um volt´ımetro, um
micrˆometro ocular, e um arranjo contendo um capacitor, uma fonte radioativa de Amer´ıcio 271 e o
recipiente contendo o ´oleo.
Figura 1: Aparato experimental utilizado.
Ao estabelecer uma voltagem de 300 V no capacitor, o ´oleo foi borrifado de maneira a formar pequenas
gotas entre as extremidades do capacitor. Devido ao campo el´etrico nessa regi˜ao, as gotas ionizadas com
a ajuda da fonte radioativa, se movimentavam de acordo com suas cargas.
A vis˜ao que se tinha atrav´es do micrˆometro ocular era das gotas se movimentando verticalmente numa
regi˜ao com 30 divis˜oes correspondendo a 0,89 mm. Se pela vis˜ao do observador a gota se movimentava
para cima (movimento real para baixo), ao acionar a chave inversora o sentido do campo el´etrico mudava,
com isso o movimento da gota era invertido. Dessa forma, foram medidos os tempos de subida e de
descida de cada gota, da primeira divis˜ao inferior a ´ultima superior e vice-versa.
Esse procedimento foi realizado para um total de 100 gotas diferentes dividas em dois lotes de 30 e
um lote de 40, sendo que o primeiro lote foi submetido a uma tes˜ao de 300 V o segundo a uma tens˜ao de
325 V e o ´ultimo lote foi submetido a uma tens˜ao de 350 V .
2
Resultados e Discuss˜ao
No experimento foram medidos os tempos de subida e descida de uma mesma gota, mostrados nas
tabelas (1), (2) e (3). Na realiza¸c˜ao do experimento aplicamos um campo el´etrico com o potencial de 300
V para as primeiras 30 gotas, um potencial de 325 V da gota 31 at´e a gota 60 e um potencial de 350 V
da gota 61 at´e a gota 100.
A partir dos tempos de subida t1 e descida t2 de cada gota, calculamos as velocidades de subida v1
e descida v2. Utilizando as velocidades e f´ormulas apresentadas na se¸c˜ao de introdu¸c˜ao, calculamos a
carga Q e o raio r de cada uma das 100 gotas consideradas durante o experimento. Para cada valor de
carga el´etrica, se associou um n´umero inteiro n que ´e obtido pela da express˜ao (Q/Qmin), em que Qmin
´e menor carga entre todas as gotas. Ent˜ao, se obteve a carga elementar para cada gota pela raz˜ao Q/n,
representada por Qe. As tabelas (1), (2) e (3) cont´em juntas todas as medidas de tempo adquiridas e
todas as outras quantidades calculadas que foram citadas anteriormente.
Gota t1 (s) t2 (s) t¯(s) v1 (m/s) v2 (m/s) r (10−5 m) Q (10−19 C) n Qe (10−19 C)
1 1,57 1,44 1,50 5,67 6,18 5,69 7,70 3 2,57
2 1,47 1,32 1,39 6,05 6,74 6,63 9,67 4 2,41
3 2,19 1,50 1,84 4,06 5,93 10,90 12,40 5 2,48
4 1,22 1,00 1,11 7,30 8,90 10,10 18,60 8 2,32
5 2,44 1,42 1,93 3,65 6,27 12,90 14,60 6 2,43
6 1,47 1,37 1,42 6,05 6,50 5,35 7,66 3 2,55
7 1,41 1,40 1,41 6,31 6,36 1,78 2,57 1 2,57
8 2,00 1,31 1,65 4,45 6,79 1,22 15,60 6 2,60
9 1,25 1,22 1,23 7,12 7,30 3,39 5,56 2 2,78
10 1,41 1,00 1,21 6,31 8,90 12,80 22,20 9 2,47
11 1,41 1,34 1,38 6,31 6,64 4,58 6,67 3 2,22
12 1,50 1,43 1,47 5,93 6,22 4,29 5,95 2 2,97
13 2,00 1,25 1,63 4,45 7,12 13,00 17,20 7 2,46
14 1,25 1,10 1,18 7,12 8,09 7,86 13,60 6 2,27
15 1,38 1,31 1,35 6,45 6,79 4,65 21,20 9 2,35
16 1,53 1,32 1,43 5,82 6,74 7,66 10,90 4 2,72
17 1,28 1,19 1,24 6,95 7,48 5,81 9,55 4 2,39
18 1,29 1,25 1,27 6,90 7,12 3,74 5,98 2 2,99
19 1,88 1,44 1,66 4,73 6,18 9,61 11,90 5 2,38
20 1,66 1,31 1,49 5,36 6,79 9,54 13,20 5 2,64
21 2,10 1,78 1,94 4,24 5,00 6,95 7,33 3 2,44
22 2,19 1,21 1,70 4,06 7,36 14,50 18,80 8 2,35
23 2,25 1,69 1,97 3,96 5,27 1,44 9,61 4 2,40
24 1,31 1,28 1,29 6,79 6,95 3,19 5,00 2 2,50
25 2 1,00 1,50 4,45 8,90 16,80 25,60 11 2,33
26 1,43 1,37 1,40 6,22 6,50 4,22 6,12 3 2,04
27 1,75 1,63 1,69 5,09 5,46 4,85 5,83 2 2,91
28 1,69 1,22 1,46 5,27 7,30 11,40 16,20 7 2,31
3
Gota t1 (s) t2 (s) t¯(s) v1 (m/s) v2 (m/s) r (10−5 m) Q (10−19 C) n Qe (10−19 C)
29 1,5 1,47 1,49 5,93 6,05 2,76 3,77 2 1,88
30 1,28 1,03 1,16 6,95 8,64 10,40 17,20 7 2,46
Tabela 1: Dados e resultados do experimento para U = 300 V, total de 30 gotas.
Gota t1 (s) t2 (s) t¯(s) v1 (m/s) v2 (m/s) r (10−5 m) Q (10−19 C) n Qe (10−19 C)
31 1,47 1,31 1,39 6,05 6,79 6,87 9,28 4 2,32
32 1,84 1,47 1,65 4,84 6,05 8,78 10,10 4 2,52
33 1,28 1,09 1,18 6,95 8,17 8,82 14,00 6 2,34
34 1,28 1,09 1,18 6,95 8,17 8,82 14,00 6 2,34
35 1,97 1,19 1,58 4,52 7,48 13,70 17,30 7 2,47
36 1,63 1,07 1,35 5,46 8,32 13,50 19,60 8 2,45
37 1,62 1,53 1,57 5,49 5,82 4,58 5,46 2 2,73
38 1,38 1,12 1,25 6,45 7,95 9,77 14,80 6 2,47
39 1,40 1,34 1,37 6,36 6,64 4,22 5,78 2 2,89
40 1,43 1,28 1,35 6,22 6,95 6,22 9,45 3 3,15
41 1,53 1,34 1,43 5,82 6,64 7,28 9,48 4 2,37
42 1,69 1,65 1,67 5,27 5,39 2,77 3,10 4 0,77
43 2,22 1,47 1,84 4,01 6,05 11,40 12,10 5 2,42
44 2,25 1,41 1,83 3,96 6,31 12,20 13,20 5 2,64
45 1,94 1,57 1,75 4,59 5,67 8,67 9,27 4 2,32
46 2,00 1,62 1,81 4,45 5,49 8,14 8,51 3 2,84
47 2,06 1,34 1,70 4,32 6,64 12,10 1,40 5 0,28
48 1,69 1,31 1,50 5,27 6,79 9,84 1,25 6 0,21
49 1,50 1,47 1,45 5,93 6,05 2,77 3,49 1 3,49
50 1,72 1,22 1,47 5,17 7,30 11,60 15,30 6 2,55
51 1,38 1,25 1,31 6,45 7,12 6,91 9,93 4 2,48
52 1,38 1,37 1,35 6,45 6,50 0,17 2,43 1 2,43
53 1,94 1,37 1,65 4,59 6,50 11,00 12,90 5 2,58
54 1,35 1,16 1,25 6,59 7,67 8,29 12,40 5 2,48
55 1,53 1,19 1,36 5,82 7,48 10,30 14,40 6 2,40
56 1,50 1,22 1,36 5,93 7,30 9,34 13,00 5 2,60
57 1,56 1,56 1,56 5,71 5,71 - - - -
58 1,12 1,00 1,06 7,95 8,90 7,78 13,80 6 2,30
59 1,70 1,50 1,60 5,24 5,93 6,63 7,79 3 2,60
60 1,72 1,38 1,55 5,17 6,45 9,03 11,00 4 2,75
Tabela 2: Dados e resultados do experimento para U = 325 V, total de 30 gotas.
4
Gota t1 (s) t2 (s) t¯(s) v1 (m/s) v2 (m/s) r (10−5 m) Q (10−19 C) n Qe (10−19 C)
61 1,97 1,22 1,59 4,52 7,30 13,30 17,90 7 2,56
62 1,40 1,22 1,31 6,36 7,30 7,73 12,00 5 2,40
63 1,59 1,25 1,42 5,60 7,12 9,83 14,20 6 2,37
64 1,47 1,12 1,29 6,05 7,95 11,00 17,50 7 2,50
65 2,03 1,25 1,64 4,38 7,12 13,20 17,00 7 2,43
66 1,90 1,19 1,54 4,68 7,48 13,30 18,50 8 2,31
67 1,53 1,41 1,47 5,82 6,31 5,58 7,72 3 2,57
68 1,37 1,35 1,36 6,50 6,59 2,39 3,57 1 3,57
69 1,47 1,25 1,36 6,05 7,12 8,25 12,30 5 2,46
70 1,53 1,21 1,37 5,82 7,36 9,90 14,80 6 2,47
71 1,19 1,12 1,15 7,48 7,95 5,47 9,62 4 2,40
72 1,60 1,53 1,56 5,56 5,82 4,06 5,28 2 2,64
73 1,28 1,18 1,23 6,95 7,54 6,13 10,10 4 2,52
74 1,56 1,10 1,33 5,71 8,09 12,30 1,93 8 0,24
75 1,62 1,47 1,54 5,49 6,05 5,97 7,85 3 2,62
76 1,50 1,30 1,40 5,93 6,85 7,65 11,10 4 2,77
77 1,50 1,40 1,45 5,93 6,36 5,23 7,33 3 2,44
78 1,35 1,18 1,26 6,59 7,54 7,77 12,50 5 2,50
79 1,75 1,22 1,48 5,09 7,30 11,80 16,70 7 2,38
80 1,28 1,00 1,14 6,95 8,90 11,10 20,10 8 2,51
81 1,72 1,59 1,65 5,17 5,60 5,23 6,42 3 2,14
82 1,59 1,35 1,47 5,60 6,59 7,94 11,00 5 2,20
83 2,66 1,53 2,09 3,35 5,82 12,50 13,10 5 2,62
84 1,28 1,22 1,25 6,95 7,30 4,72 7,67 3 2,56
85 1,37 1,34 1,35 6,50 6,64 2,98 4,47 2 2,23
86 1,53 1,47 1,50 5,82 6,05 3,82 5,18 2 2,59
87 1,25 1,16 1,21 7,12 7,67 5,91 9,98 4 2,49
88 1,78 1,35 1,56 5,00 6,59 10,00 13,2 5 2,64
89 1,81 1,59 1,7 4,92 5,60 6,58 7,89 3 2,63
90 1,66 1,37 1,51 5,36 6,50 8,52 11,50 4 2,87
91 1,66 1,59 1,62 5,36 5,60 3,31 4,88 2 2,44
92 1,37 1,32 1,34 6,50 6,74 3,91 5,90 2 2,95
93 1,44 1,25 1,34 6,18 7,12 7,73 11,70 5 2,34
94 1,84 1,41 1,62 4,84 6,31 9,67 12,30 5 2,46
95 1,59 1,28 1,43 5,60 6,95 9,27 13,20 5 2,64
96 2,00 1,56 1,78 4,45 5,71 8,44 9,64 4 2,41
5
Gota t1 (s) t2 (s) t¯(s) v1 (m/s) v2 (m/s) r (10−5 m) Q (10−19 C) n Qe (10−19 C)
97 1,34 1,22 1,28 6,64 7,30 6,48 10,30 4 2,57
98 1,44 1,40 1,42 6,18 6,36 3,38 4,84 2 2,42
99 1,84 1,28 1,56 4,84 6,95 6,37 15,5 6 2,58
100 1,81 1,68 1,74 4,92 5,30 4,91 5,73 2 2,86
Tabela 3: Dados e resultados do experimento para U = 350,3 V, total de 40 gotas.
Gr´afico 1: Carga em fun¸c˜ao do n´umero inteiro n.
Realizado a regress˜ao linear partir do gr´afico 1 e relacionando com a equa¸c˜ao Q = ne, obtemos o valor
da carga elementar do el´etron e = (1, 5998 ± 0, 0097) · 10−19 C, sendo que este resultado apresentou uma
diferen¸ca percentual de 0,14% em rela¸c˜ao ao valor da literatura de 1, 602 · 10−19 C.
Tamb´em plotamos um gr´afico 2 da carga em fun¸c˜ao do raio da gota de ´oleo. Observando que os pontos
parece n˜ao seguir um padr˜ao ampliamos um trecho e obtemos o gr´afico 3, onde observamos alguns valores
em torno das retas, o que realmente mostra a discretiza¸c˜ao da carga.
Gr´afico 2: Carga em fun¸c˜ao do raio de cada gota r.
6
Gr´afico 3: Carga de cada gota em fun¸c˜ao do seu raio – gr´afico 2 ampliado em uma determinada regi˜ao.
Conclus˜ao
A partir da an´alise do gr´afico 2 correlacionando carga e n´umero da gota (Q×n) conseguimos observar
valores discretizados envoltos da reta, caracterizando uma dependˆencia linear entre esses parˆametros.
Por´em, quando analisamos o gr´afico 3 relacionando carga e o raio da gota (Q × r) n˜ao houve como
caracterizar a discretiza¸c˜ao dos valores das cargas visualmente no mesmo. Assim, ampliamos a escala
do gr´afico 3 em torno do intervalo das gotas cujo raio compreendem (2 < r < 4) afim de percebermos
tal caracter´ıstica presente no gr´afico 3. Com os resultados aqui apresentados, conseguimos verificar de
maneira razo´avel que de fato a carga ´e quantizada e que a carga elementar segundo este experimento
possui um valor de e = (1, 5998±0, 0097)·10−19 C, tal valor apresenta uma diferen¸ca percentual de 0,14%
com rela¸c˜ao ao valor da literatura e = 1, 602 × 10−19 C.
Bibliografia
[1] J.F. Carvalho, L.J. Queiroz, R.C. Santana. Roteiros dos Experimentos. IF-UFG, 2020.
[2] YOUNG, Hugh D. F´ısica III: Eletromagnetismo. S˜ao Paulo: Addison Wesley, 2009.
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