Efeito Hall em germˆanio p e n

Efeito Hall em germˆanio p e n
Instituto de F´ısica - UFG
F´ısica Experimental V
Jackeline Ribeiro Figueredo
Victor Matheus Oliveira de Andrade
Neste experimento foi investigado o comportamento da voltagem Hall para dois materiais semicondutores,
o germˆanio tipo p e tipo n, com objetivo de verificar a dependˆencia dos mesmos com o campo magn´etico
aplicado e com a corrente el´etrica induzida por uma diferen¸ca de potencial nos terminais do material. Os
resultados obtidos permitiram que a densidade de portadores de carga e a mobilidade Hall fosse estimada
para cada um dos materiais.
Introdu¸c˜ao e Objetivo
O Efeito Hall demonstra a realidade das for¸cas que
atuam sobre as cargas que se movem no interior de
um condutor em um campo magn´etico. E an´alogo ´
ao desvio transversal de um feixe de el´etrons em um
campo magn´etico no v´acuo.
Esse efeito foi descoberto por Edwin Hall1
, em
1879, enquanto ele ainda era um aluno de gradua¸c˜ao.
Neste per´ıodo, j´a se sabia que quando um fio percorrido por uma corrente el´etrica era exposto a um
campo magn´etico as cargas presentes neste condutor
eram submetidos a uma for¸ca que fazia com que seu
movimento fosse alterado.
No entanto, o que Edwin Hall descreveu foi o
surgimento de regi˜oes com carga negativa e outras
com carga positiva no condutor, criando um campo
magn´etico perpendicular ao campo gerado pela corrente principal. Em sua homenagem este efeito ficou
conhecido como Efeito Hall.
Pela experiˆencia, verifica-se que em um metal, `a
temperatura constante, a densidade de corrente ´e diretamente proporcional ao campo el´etrico aplicado,
ent˜ao:
J~ = σE~ (1)
onde, J~ ´e a densidade de corrente, σ ´e a condutividade el´etrica e E~ ´e o campo el´etrico.
Assim, quanto maior for a condutividade de um
material menor deve ser o campo E~ para criar uma
mesma densidade de corrente J~.
O inverso da condutividade ´e chamado de resistividade, cujo s´ımbolo que o representa ´e o ρ, ent˜ao:
σ =
1
ρ
(2)
1Edwin Herbert Hall (1855 -1938). F´ısico norte-americano
que descobriu o efeito Hall.
Com as equa¸c˜oes (1) e (2), se tem que:
E~ = ρJ~ (3)
Cujo o an´alogo macrosc´opio ´e:
U = RI (4)
Resistividade el´etrica (tamb´em resistˆencia el´etrica
espec´ıfica) ´e uma medida do quanto o material se
op˜oe `a passagem da corrente el´etrica. Quanto menor for o valor da resistividade de um determinado
material mais facilmente ele permite a passagem de
corrente el´etrica.
A unidade de resistividade no Sistema Internacional de Unidades (SI) ´e o Ohm vezes metro (Ω · m),
por´em, na pr´atica, utiliza-se muito o Ohm vezes
cent´ımetro (Ω · cm).
Medimos a resistividade pela f´ormula abaixo, onde
L ´e o comprimento do condutor e A a sua ´area transversal:
R = ρ
L
A
(5)
Figura 1: Representa¸c˜ao do Efeito Hall nos eixos x, y e
z.
Na figura 1 est´a representada uma placa condutora
sujeita a um campo magn´etico aplicado na dire¸c˜ao z
e uma corrente sendo injetada na dire¸c˜ao x.
Vemos, que as cargas positivas ser˜ao refletidas para
cima, ou seja na dire¸c˜ao positiva do eixo y, formando
1
assim uma tens˜ao Hall positiva (UH). Por outro lado,
quando as cargas negativas s˜ao predominantes e a
corrente est´a no mesmo sentido, logo estas cargas negativas sofrer˜ao a a¸c˜ao de uma for¸ca para cima, gerando assim uma tens˜ao Hall negativa visualizada na
figura 2.
Figura 2: Efeito de Hall para portadores de carga
positiva e para portadores de carga negativa.
Temos uma constante de proporcionalidade entre
a corrente e a tens˜ao Hall, que ´e dada pela seguinte
equa¸c˜ao:
UH = αI (6)
Tomando como base a equa¸c˜ao 4, podemos afirmar
que a constante de proporcionalidade α pode ser vista
como a resistˆencia do material.
Para os materiais em que apenas um tipo de portador de carga ocorre, como ´e o caso dos metais, podemos escrever, para a densidade de corrente, a seguinte
equa¸c˜ao:
Jx = nqqvx (7)
onde nq ´e a densidade dos portadores de carga q.
Em geral q = −e ´e a carga do el´etron nos metais,
embora existam metais onde o portador ´e um buraco
q = +e.
A componente magn´etica da densidade da For¸ca
de Lorentz ser´a dada por:
Fy = JxBz (8)
F~ = −e(E~ + ~v × B~ ) (9)
Essa for¸ca n˜ao eletrost´atica ser´a contrabalanceada
por uma for¸ca eletrost´atica de igual magnitude e sinal
contr´ario, quando as cargas que se movem por efeito
da for¸ca magn´etica e se acumulam na superf´ıcie do
material. Nesse caso, a densidade de for¸ca de Lorentz
total ser´a nula:
Fy = ρEy + JxBz = 0 (10)
E portanto:
Ey =
−JxBz
ρ
(11)
O fator 1
ρ
´e denominado coeficiente Hall RH, sendo
ele definido:
ρ = nqq (12)
Logo:
RH =
1
nqq
(13)
Figura 3: Efeito Hall em uma placa semicondutora que
flui uma corrente I na presen¸ca um campo magn´etico B.
Lembrando que a densidade de corrente ´e dada por
Jx = Ix/A onde Ix ´e a corrente gerada pela tens˜ao
V0 aplicada aos terminais do material e A ´e a ´area de
se¸c˜ao transversal, e al´em disso o campo eletrost´atico
est´a associado a tens˜ao Hall medida por Ey = UH/d,
onde d ´e o comprimento mostrado na figura 3.
Podemos reescrever:
UH = RH
IxBz
d
(14)
Desse modo temos que:
RH =
UHd
BzIx
(15)
A partir da resistˆencia Hall (RH), podemos definir
a condutividade σ0, a mobilidade dos portadores µH
e a densidade de portadores n:
µH = RHσ0 (16)
onde σ0 ´e a condutividade `a temperatura ambiente,
dada por:
σ0 =
L
R0A
(17)
Sabendo que L ´e o comprimento da placa e A a
´area da se¸c˜ao transversal, e R0 a resistˆencia inicial.
A densidade de portadores ´e dada por:
n =
1
eRH
(18)
O objetivo deste experimento ´e investigar o comportamento da voltagem Hall em semicondutores de
germˆanio tipo p e n, verificar a dependˆencia desses
dois tipos de semicondutores com o campo magn´etico
aplicado e com corrente el´etrica induzida por uma diferen¸ca de potencial nos terminais do material e determinar o tipo, densidade e mobilidade do portador
de carga.
2
Procedimento Experimental
Na figura 4, esta representado o arranjo experimental utilizado na realiza¸c˜ao deste experimento.
Figura 4: Arranjo usado para medidas do efeito Hall.
Os arranjos da placa e do eletro´ım˜a podem variar.
Figura 5: Fonte de corrente d.c. para conectar ao
semicondutor.
Para a realiza¸c˜ao deste experimento utilizamos dois
cristais de germˆanio de dopagens tipo p e n, uma
fonte de corrente cont´ınua, um teslˆametro, utilizamos tamb´em uma associa¸c˜ao resistores e capacitores
para controlar a corrente que passava pelo cristal de
germˆanio.
A corrente el´etrica que passar´a atrav´es do cristal
de germˆanio ´e obtida a partir da sa´ıda de voltagem
a.c. da fonte de potˆencia com a ajuda de uma ponte
retificadora e um capacitor eletrol´ıtico conectado `a
sa´ıda do retificador, como ilustrado no esquema da
figura 5.
O controle da corrente ´e obtido com o aux´ılio de um
potenciˆometro, para evitar que a corrente m´axima de
50 mA seja excedida, se conectou uma resistˆencia de
330 Ω. O cristal de germˆanio ´e conectado diretamente a este aparato, atrav´es dos terminais A e B.
Os terminais D e E s˜ao usados para medir a voltagem
Hall (UH), usando um mult´ımetro.
Inicialmente medimos a voltagem Hall em fun¸c˜ao
da corrente atrav´es da amostra. Depois medimos a
voltagem Hall (UH) em fun¸c˜ao do campo magn´etico
B para uma corrente constante de I (mA), e por
´ultimo ajustamos uma corrente constante I (mA),
medimos a voltagem atrav´es dos terminais do cristal
e calculamos a resistˆencia da amostra na ausˆencia de
campo magn´etico, R0. Em seguida, ligamos o campo
magn´etico e medimos a varia¸c˜ao da resistˆencia em
fun¸c˜ao do campo magn´etico, RB.
Cada um desses procedimentos citados acima foram realizados para o Germˆanio tipo p e para o
Germˆanio tipo n, seguindo-se a mesma ordem.
Resultados e Discuss˜ao
Placa de Germˆanio tipo p
Primeira Parte
Inicialmente com o campo magn´etico constante
B = 300 mT, medimos a tens˜ao Hall UH em fun¸c˜ao
da corrente el´etrica da amostra. Mostrados na tabela
1 seis valores positivos e seis valores negativos.
UH (mV) I (mA) UH (mV) I (mA)
-30 59,6 5 -9,9
-25 29,7 10 -19,8
-20 39,8 15 -29,6
-15 29,8 20 -39,6
-10 20 25 -49,5
-5 9,9 30 -59,5
Tabela 1: Valores da voltagem Hall e da corrente
el´etrica.
Com os dados da tabela 1, foi criado o gr´afico da
voltagem hall em fun¸c˜ao da corrente el´etrica, dado no
gr´afico 1, logo em seguida fizemos o ajuste linear dos
valores medidos e calculamos o coeficiente angular
da reta encontrando assim o valor experimental da
constante de proporcionalidade: α = −1, 98.
Gr´afico 1: Voltagem Hall em fun¸c˜ao da corrente
el´etrica.
Segunda Parte
Com a corrente constante I = 30 mA, medimos a
voltagem Hall em fun¸c˜ao do campo magn´etico. Os
dados obtidos encontram-se na tabela 2.
3
UH (mV) B (mT) UH (mV) B (mT)
-1,0 5 1,0 -5
-2,1 10 2,1 -10
-3,0 15 3,0 -15
-4,1 20 4,1 -20
-5,2 25 5,2 -25
-6,2 30 6,2 -30
Tabela 2: Valores da voltagem Hall e do campo
magn´etico.
Atrav´es dos dados da tabela 2, foi criado o gr´afico
da tens˜ao hall em fun¸c˜ao do campo magn´etico dado
na figura 6, posteriormente fizemos o ajuste linear
para determinar o coeficiente Hall, lembrando que
b = UH/B, o coeficiente angular da reta encontrado foi de −149, 6. A partir deste valor e com a
equa¸c˜ao 14, sabendo que d = 1 × 10−3 m e I = 30
mA, determinamos a resistˆencia Hall experimental
RH = −0, 05938 m3/As.
Gr´afico 2: Voltagem Hall em fun¸c˜ao do campo
magn´etico.
Terceira Parte
Com a corrente constante I = 30 mA, ligamos o
campo magn´etico e medimos a varia¸c˜ao da resistˆencia
em fun¸c˜ao do campo magn´etico (RB), para determinarmos assim a rela¸c˜ao ((RB/R0) - 1), consideramos
R0 = 53Ω. Os resultados se encontram logo abaixo
na tabela 3.
B (mT) RB (Ω) ((RB/R0) − 1)
25 76,09 0,41
50 110,54 1,06
75 111,65 1,07
100 154,09 1,74
125 186,23 2,44
150 220,12 3,12
B (mT) RB (Ω) ((RB/R0) − 1)
175 239,64 3,57
200 271,56 4,03
225 296,09 4,56
250 328,16 5,15
Tabela 3: Valores do campo magn´etico e da varia¸c˜ao
da resistˆencia.
Gr´afico 3: Varia¸c˜ao da resistˆencia em fun¸c˜ao do campo
magn´etico.
Atrav´es do aumento da resistˆencia em fun¸c˜ao do
campo magn´etico aplicado, podemos dizer que o livre caminho m´edio diminui, pois a ´area efetiva dos
portadores ficou reduzida, como mostrado no gr´afico
3. Portanto quando a resistividade aumenta ocorre
uma diminui¸c˜ao do livre caminho m´edio.
A partir do valor obtido para a resistˆencia Hall
RH determinamos atrav´es das equa¸c˜oes (15) e (16)
a mobilidade dos portadores de carga µH = 156 ·
10−3 m2/Vs.
Calculamos tamb´em a densidade dos portadores,
com a equa¸c˜ao 17, sabendo que e = 1, 602×10−19 As,
logo: n = 1, 25 · 1018 m−3
.
A partir da an´alise dos dados identificamos que
o sinal dos portadores de carga respons´aveis pela
condu¸c˜ao carrega o sinal negativo, indicando que a
condu¸c˜ao para este caso ´e feita por el´etrons, que ´e
uma caracter´ıstica dos semicondutores do tipo p.
Placa de Germˆanio tipo n
Primeira Parte
Com o campo magn´etico constante B = 300 mT,
medimos a tens˜ao Hall UH em fun¸c˜ao da corrente
el´etrica da amostra mostrados na tabela 4.
UH (mV) I (mA) UH (mV) I (mA)
-40 -45,8 15 13,6
-35 -40,4 20 20,4
4
UH (mV) I (mA) UH (mV) I (mA)
-30 -34,4 25 27,2
-25 -28,6 30 33,9
-20 -20,3 35 40,9
-15 -13,7 40 47,7
Tabela 4: Valores da voltagem Hall e da corrente
el´etrica.
Com os dados da tabela 4, foi criado o gr´afico da
voltagem hall em fun¸c˜ao da corrente el´etrica, dada no
gr´afico 4, logo em seguida fizemos o ajuste linear dos
valores medidos e calculamos o coeficiente angular da
reta encontrando assim o valor experimental da constante de proporcionalidade que foi de α = 1, 2531.
Gr´afico 4: Voltagem Hall em fun¸c˜ao da corrente
el´etrica.
Segunda Parte
Com a corrente constante I = 30 mA, medimos a
voltagem hall em fun¸c˜ao do campo magn´etico. Os
dados obtidos encontram-se na tabela 5.
UH (mV) B (mT) UH (mV) B (mT)
5 0 -5 0
10 0,6 -10 -0,6
15 1,3 -15 -1,3
20 2,1 -20 -2,1
25 2,7 -25 -2,7
30 3,3 -30 -3,3
Tabela 5: Valores da voltagem Hall e do campo
magn´etico.
Com os dados da tabela 5, foi criado o gr´afico
da tens˜ao hall em fun¸c˜ao do campo magn´etico dado
no gr´afico 5, posteriormente fizemos o ajuste linear
para determinar o coeficiente Hall, lembrando que
b = UH/B, o coeficiente angular da reta encontrado foi de 127,5203. A partir deste valor e com
a equa¸c˜ao 14, sabendo que d = 1 × 10−3 m e I = 30
mA, determinamos a resistˆencia Hall experimental
RH = 4, 250678 m3/As.
Gr´afico 5: Voltagem Hall em fun¸c˜ao do Campo
Magn´etico.
Terceira Parte
Com a corrente constante I = 30 mA, ligamos o
campo magn´etico e medimos a varia¸c˜ao da resistˆencia
em fun¸c˜ao do campo magn´etico (RB), para determinarmos assim a rela¸c˜ao ((RB/R0) - 1),consideramos
R0 = 53Ω. Os resultados se encontram logo abaixo
na tabela 6.
B (mT) RB (Ω) ((RB/R0) − 1)
25 76,09 0,41
50 110,54 1,06
75 111,65 1,07
100 154,09 1,74
125 186,23 2,44
150 220,12 3,12
175 239,64 3,57
200 271,56 4,03
225 296,09 4,56
250 328,16 5,15
Tabela 6: Valores do campo magn´etico e da varia¸c˜ao
da resistˆencia.
Atrav´es do aumento da resistˆencia em fun¸c˜ao do
campo magn´etico aplicado, podemos dizer que o livre caminho m´edio diminui, pois a ´area efetiva dos
portadores ficou reduzida, como mostrado no gr´afico
6. Portanto quando a resistividade aumenta ocorre
uma diminui¸c˜ao do livre caminho m´edio.
A partir do valor obtido para a resistˆencia Hall
RH determinamos atrav´es das equa¸c˜oes (15) e (16)
a mobilidade dos portadores de carga µH = 131 ·
10−3 m2/Vs.
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Calculamos tamb´em a densidade dos portadores,
com a equa¸c˜ao 17, sabendo que e = 1, 602×10−19 As,
logo: n = 1, 47 · 1018 m−3
.
A partir da an´alise dos dados identificamos que
o sinal dos portadores de carga respons´aveis pela
condu¸c˜ao carrega o sinal positivo, indicando que a
condu¸c˜ao para este caso ´e feita por meio de buracos.
Gr´afico 6: Varia¸c˜ao da resistˆencia em fun¸c˜ao do campo
magn´etico.
Conclus˜ao
Com a realiza¸c˜ao do experimento do efeito Hall
conseguimos determinar o sinal dos portadores de
carga e assim determinar o valor da densidade dos
portadores de carga, seus respectivos coeficientes Hall
e mobilidades para duas placas distintas de germˆanio.
Para a primeira placa identificamos que os portadores tinham cargas positivas, tratando-se de um semicondutor do tipo p. Para e segunda placa identificamos que os portadores tinham cargas negativas,
sendo esta um semicondutor do tipo n.
Bibliografia
[1] J.F. Carvalho, L.J. Queiroz, R.C. Santana. Roteiros dos Experimentos. IF-UFG, 2020.
[2] FLUKE 117: Mult´ımetro para eletricistas.
2006. Dispon´ıvel em: <http://www.instrucamp.
com.br/dropbox/2c003956ae00e74bb296ae698bd1f85
e.pdf>. Acesso em: 14 de outubro de 2020.
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