Efeito Zeeman

Efeito Zeeman
Instituto de F´ısica - UFG
F´ısica Experimental V
Jackeline Ribeiro Figueredo
Victor Matheus Oliveira de Andrade
O experimento teve por objetivo determinar o valor do magn´eton de Bohr. Para isso medimos o
desdobramento das linhas espectrais vermelhas observadas em um monitor, em que as mesmas foram
criadas por um campo magn´etico aplicado `a uma lˆampada de c´admio. Por fim chegamos ao resultado
final para o valor do magn´eton de Bohr, obtendo µB = 1, 935 · 10−24 J/T.
Introdu¸c˜ao e Objetivo
O Efeito Zeeman1 pode ser classificado como normal, ou seja, aquele pelo qual o desdobramento de
uma raia espectral acontece de duas maneiras:
(a) se a observa¸c˜ao se fizer ao longo de uma dire¸c˜ao paralela ao vetor de indu¸c˜ao magn´etica B, ent˜ao
a raia espectral original do espectro desdobrar-se-´a em duas raias;
(b) Se a observa¸c˜ao for feita em uma dire¸c˜ao perpendicular ao vetor B, a raia original desdobrar-se-´a
em trˆes raias. Ou pode ser ainda classificado como Anˆomalo onde uma raia espectrosc´opica (situada na
regi˜ao do vis´ıvel do espectro ´optico) ´e desdobrada em 2j + 1 raias diferentes, onde j ´e a proje¸c˜ao do vetor
momento angular quˆantico sobre o eixo de quantiza¸c˜ao.
O efeito Zeeman envolve, ent˜ao, a intera¸c˜ao entre o momento de dipolo magn´etico atˆomico ~µ e um
campo magn´etico externo B~ , levando ao desdobramento dos n´ıveis de energia devido ao levantamento da
degenerescˆencia espacial.
No efeito Zeeman normal, a ´unica fonte de momento magn´etico ´e o momento angular orbital do el´etron.
Quando este momento dipolar magn´etico est´a sob a¸c˜ao de um campo magn´etico aplicado B~ , ele fica sob
efeito de um torque magn´etico ~τ dado por:
~τ = ~µ × B~ (1)
que tender´a a alinhar o momento de dipolo magn´etico com o campo magn´etico. Assim, a chamada
energia potencial de orienta¸c˜ao ∆E para a condi¸c˜ao de campo fraco (quando o campo magn´etico n˜ao tem
intensidade suficiente para perturbar o acoplamento LS) ser´a dada por:
∆E = −~µ · B~ = µBBgm0
j
(2)
onde µB ´e chamado magn´eton de Bohr e g ´e o fator de Land´e2
, dados pelas respectivas express˜oes:
µB =
eh
2m
(3)
g = 1 +
j
0
(j
0
+ 1) + s
0
(s
0
+ 1) − l
0
(l
0
+ 1)
2j
0
(j
0 + 1) (4)
sendo e a carga do el´etron e m, sua massa.
Substituindo os valores conhecidos na equa¸c˜ao (3), obt´em-se o valor do magn´eton de Bohr igual a
9, 2741 · 10−24 J/T.
Assim, para o efeito Zeeman normal, o campo magn´etico aplicado ir´a desdobrar os n´ıveis de energia
em (2l + 1) componentes, separados por uma energia igual a µB · B. As transi¸c˜oes atrav´es de radia¸c˜ao de
dipolo el´etrico entre esses n´ıveis obedecem `as regras de sele¸c˜ao:
∆m
0
l = 0, ±1 (5)
1O Efeito Zeeman foi descoberto por Pieter Zeeman, um f´ısico holandˆes, no s´eculo XIX.
2Alfred Land´e (1888-1976), f´ısico teuto-estadunidense.
1
A consequˆencia disto ´e que sempre observa-se o desdobramento de cada linha espectral em um tripleto,
sendo uma linha central com mesma frequˆencia da linha original (∆m
0
l = 0), uma com frequˆencia mais
alta (∆m
0
l = −1) e outra com frequˆencia mais baixa (∆m
0
l = +1).
O esquema da figura (1) logo abaixo retrata a transi¸c˜ao 61D2 → 5
1P1 (nota¸c˜ao espectrosc´opica) para
o ´atomo de c´admio Cd.
Figura 1: Transi¸c˜ao 61D2 → 5
1P1 decorrente da aplica¸c˜ao de um campo magn´etico para o ´atomo de c´admio.
Como ambos estados possuem um spin total nulo (s
0 = 0, que representam estados de singleto), o
efeito observado ´e o efeito Zeeman normal.
Uma an´alise mais detalhada mostra que a luz emitida em uma experiˆencia Zeeman est´a polarizada,
sendo que o estado de polariza¸c˜ao da linha depende da dire¸c˜ao de observa¸c˜ao em rela¸c˜ao ao campo
magn´etico. Quando a luz emitida ´e observada paralelamente a dire¸c˜ao do campo, a linha resultante da
transi¸c˜ao ∆m = ±1, s˜ao circularmente polarizadas, sendo rotuladas como σ
+ ou σ
−, caso a polariza¸c˜ao
estiver, ou n˜ao, no sentido da rota¸c˜ao da corrente el´etrica que cria o campo B~ .
Quando a luz emitida ´e observada perpendicularmente `a dire¸c˜ao do campo, a linha resultante da
transi¸c˜ao ∆m = 0, chamadas de linha σ, tamb´em s˜ao linearmente polarizadas em dire¸c˜ao perpendicular
ao campo. A intensidade das componentes σ ´e duas vezes maior em observa¸c˜ao longitudinal do que na
observa¸c˜ao transversal. Estas regras de polariza¸c˜ao podem ser entendidas qualitativamente considerando
a intera¸c˜ao do campo com a radia¸c˜ao resultando que o movimento dos el´etrons acelerados.
Para campos magn´eticos moderados, os desdobramentos em energia causados pelo efeito Zeeman
s˜ao muito pequenos para serem observados por meio de espectrosc´opios comuns. Mas, utilizando-se um
espectrosc´opio de Fabry-Perot, ´e poss´ıvel corrigir este problema. No caso da experiˆencia executada em
laborat´orio, a presen¸ca das componentes sat´elites em rela¸c˜ao `a linha vermelha do Cd (λ = 643,8 nm)
´e investigada com este aparato, em que o espa¸camento entre as placas ´e fixo, denominado etalon, onde
varia¸c˜oes de comprimento da ordem de 0,002 nm podem ser observadas.
O interferˆometro, esquematizado abaixo, possui duas placas de vidro planas e paralelas e cobertas
na superf´ıcie interna com camadas met´alicas parcialmente refletoras, sendo as placas separadas por uma
distˆancia igual a 3 mm para o interferˆometro utilizado. Para este interferˆometro, raios incidindo segundo
um ˆangulo θ em rela¸c˜ao `a normal das placas apresentar˜ao interferˆencia construtiva regida pela equa¸c˜ao:
2t cos(θ) = nλ (6)
onde n ´e um n´umero inteiro e o ´ındice de refra¸c˜ao entre as placas ´e igual a 1.
A luz que chega ao interferˆometro ´e focalizada sobre a tela atrav´es da lente da direita. Os ˆangulos θn,
que correspondem aos an´eis de interferˆencia projetados na tela de observa¸c˜ao podem ser obtidos a partir
da express˜ao:
θn =
s
2(n0 − n)
n0
(7)
v´alida apenas para ˆangulos pequenos. Na express˜ao (7) n ´e um inteiro (para um anel brilhante) e n0 = 2t/λ
´e um parˆametro (geralmente n˜ao-inteiro), que indica a condi¸c˜ao de interferˆencia no centro da figura, ou
seja, θ = 0.
2
Assim, o raio do p-´esimo anel brilhante pode ser escrito como:
rp =
s
2f
2
n0
p
(p − 1) +  (8)
onde f ´e a distˆancia focal da lente usada para focaliza¸c˜ao (lente da direita) e  um parˆametro entre 0 e 1
que indica o quanto n0 difere de um inteiro.
A partir da equa¸c˜ao (8) pode-se obter a rela¸c˜ao entre raios dos an´eis consecutivos, dada por:
r
2
p+1 − r
2
p =
2f
2
n0
(9)
Para o caso em que ocorre o desdobramento de duas raias espectrais muito pr´oximas, de comprimentos
de onda λa e λb, em que a refere-se ao anel mais externo e b ao mais interno, a diferen¸ca entre os n´umeros
de onda λ
−1
a
e λ
−1
b
ser´a dada por:
∆ν =
1
λa
−
1
λb
=
1
2t

r
2
p+1,a
r
2
p+1,a − r
2
p,a
−
r
2
p+1,b
r
2
p+1,b − r
2
p,b!
(10)
onde t ´e a espessura do elaton (3,0 mm). Utilizando as defini¸c˜oes que seguem:
∆p+1,p
a = r
2
p+1,a − r
2
p,a (11)
∆
p+1,p
b = r
2
p+1,b − r
2
p,b (12)
δ
p
p,a = r
2
p,a − r
2
p,b (13)
Comparando as equa¸c˜oes acima com as equa¸c˜oes (8) e (9), ´e poss´ıvel concluir que, na situa¸c˜ao em que
λa e λb s˜ao muito pr´oximos, valem as rela¸c˜oes, para qualquer valor de p.
∆p+1,p
a = ∆p+1,p
b
(14)
δ
p+1
a,b = δ
p
a,b (15)
Assim, ´e poss´ıvel calcular os valores m´edios das grandezas acima para v´arios an´eis e utilizar os valores
m´edios de ∆ e ¯ ¯δ para obter, a partir da equa¸c˜ao (9):
∆¯ν =
1
2t
¯δ
∆
(16)
A express˜ao (16) fornece o desdobramento de Zeeman, em termos do n´umero de onda, em fun¸c˜ao dos
raios dos an´eis, que podem ser medidos experimentalmente. O resultado obtido pode ser comparado com
as previs˜oes te´oricas, obtidas atrav´es da express˜ao:
2µBB = hc∆ν (17)
Este experimento tem como objetivos principais determinar o valor do magneton de Bohr atrav´es de
medidas do desdobramento das linhas espectrais vermelhas de uma lˆampada de c´admio em fun¸c˜ao do
campo magn´etico aplicado.
Procedimento Experimental
O aparato experimental utilizado ´e mostrado na figura 2 abaixo, consiste de uma fonte de corrente
cont´ınua, um eletro´ım˜a, um mult´ımetro, uma lˆampada de c´admio, um teslˆametro, lentes, polarizadores,
um capacitor eletrol´ıtico, interferˆometro de Fabry-Perot e uma tela com escala microm´etrica.
O eletromagneto ´e colocado numa mesa girat´oria, sendo que o gap entre as pe¸cas polares deve ser de
9 mm para permitir-se o encaixe da lˆampada de Cd. As pe¸cas polares devem estar bem fixadas de tal
forma que elas n˜ao se movam durante a realiza¸c˜ao do experimento. A lˆampada de c´admio ´e inserida no
gap sem tocar as pe¸cas polares e conectada a fonte de tens˜ao para lˆampadas espectrais. As bobinas do
eletromagneto s˜ao conectadas a fonte de tens˜ao vari´avel para at´e 20 V DC, 12 A. Um capacitor de 22000
µF ´e ligado em paralelo na sa´ıda da fonte de tens˜ao para atenuar flutua¸c˜oes na tens˜ao DC fornecida.
A disposi¸c˜ao dos componentes ´opticos a serem utilizados no experimento ´e mostrada na figura 3.
3
Figura 2: Aparato experimental para o Efeito Zeeman.
Figura 3: Disposi¸c˜ao dos componentes ´oticos do experimento, com posi¸c˜oes t´ıpicas sobre o trilho, em cm.
Resultados e Discuss˜ao
Durante a realiza¸c˜ao do experimento foram realizadas seis s´eries de medida dos diˆametros dos an´eis de
interferˆencia, cada uma para um valor diferente de corrente el´etrica nas bobinas. A lˆampada de c´admio
Cd ficou submetida ao campo magn´etico gerado pelas bobinas.
A tabela (1) cont´em os dados obtidos do experimento e o valor do campo magn´etico para cada situa¸c˜ao.
i (A) B (mT) r1 (mm) r2 (mm) r3 (mm) r4 (mm)
b 1,00 154 2,55 5,63 6,38 7,21
a 1,00 154 2,74 5,89 6,42 7,32
b 1,50 192 2,96 5,44 6,43 7,43
a 1,50 192 3,56 5,79 6,93 8,02
b 2,00 260 2,86 5,26 6,17 7,93
a 2,00 260 3,55 5,28 6,89 8,14
b 2,55 326 2,88 4,79 6,17 7,93
a 2,55 326 3,42 5,22 6,98 8,15
b 3,00 392 2,84 5,09 6,18 7,35
a 3,00 392 3,58 5,21 6,99 8,16
b 3,50 456 2,78 4,85 6,73 7,85
a 3,50 456 3,56 5,28 6,89 8,32
b 4,00 516 2,73 5,01 6,12 7,93
a 4,00 516 3,05 5,32 5,28 8,19
Tabela 1: Dados obtidos do experimento e campo magn´etico em cada situa¸c˜ao de corrente el´etrica na bobina, a
refere-se ao anel mais externo e b ao mais interno (rp,a > rp,b).
4
A tabela (2) mostra os resultados das manipula¸c˜oes alg´ebricas necess´arias para se obter o valor m´edio da varia¸c˜ao
para as componentes a e b e os comprimentos de onda, ∆ν, associadas `a linha espectral que se abriu devido ao
campo magn´etico aplicado.
p
i (A) δ|∆ (mm2
) 1 2 3 4 δ|∆ (mm2
) ∆ν (m−1
) µB (10−24 J/T)
1,00 ∆
p+1,1
b
18,67 9,76 20,32 - 15,34 47,63 9,23
1,00 ∆p+1,1
a 17,89 10,04 16,34 - 15,34 47,63 9,23
1,00 δ
p
a,b 8,43 4,72 7,43 1,42 3,21 47,63 9,23
1,50 ∆
p+1,1
b
18,27 10,93 25,32 - 17,83 55,34 4,67
1,50 ∆p+1,1
a 18,64 13,93 17,45 - 17,83 55,34 4,67
1,50 δ
p
a,b 6,01 6,28 9,35 1,65 5,35 55,34 4,67
2,00 ∆
p+1,1
b
17,94 13,02 25,43 - 18,43 37,85 6,78
2,00 ∆p+1,1
a 16,83 19,32 18,63 - 18,43 37,85 6,78
2,00 δ
p
a,b 3,21 1,26 9,52 3,02 4,78 37,85 6,78
2,55 ∆
p+1,1
b
16,32 32,85 25,76 - 22,33 35,39 8,43
2,55 ∆p+1,1
a 15,42 22,08 20,32 - 22,33 35,39 8,43
2,55 δ
p
a,b 2,32 1,42 10,34 4,93 4,38 35,39 8,43
3,00 ∆
p+1,1
b
18,21 11,83 16,32 - 16,42 69,03 7,34
3,00 ∆p+1,1
a 16,27 21,95 14,95 - 16,42 69,03 7,34
3,00 δ
p
a,b 1,02 1,02 11,43 12,45 6,85 69,03 7,34
3,50 ∆
p+1,1
b
15,34 21,63 17,92 - 18,38 48,28 6,34
3,50 ∆p+1,1
a 16,42 19,58 18,34 - 18,38 48,28 6,34
3,50 δ
p
a,b 4,53 7,04 4,91 5,39 5,93 48,28 6,34
4,00 ∆
p+1,1
b
18,03 20,79 18,34 - 18,45 47,84 4,58
4,00 ∆p+1,1
a 18,34 20,43 18,34 - 18,45 47,84 4,58
4,00 δ
p
a,b 1,53 2,36 11,43 5,78 5,39 47,84 4,58
Tabela 2: C´alculos parciais e resultados individuais para o valor do magn´eton de Bohr.
Gr´afico 1: ∆ν/2 (m−1
) × B (mT), a reta ´e o resultado da regress˜ao linear da forma y = A · x.
A ´ultima coluna da tabela (2) fornece o valor do magn´eton de Bohr calculado para cada uma das seis situa¸c˜oes
de campo. As m´edias que aparecem nessa tabela foram calculadas pelas equa¸c˜oes (18) e (19), logo abaixo:
∆ = ¯
1
6
Xp=3
p=1
(∆p+1,p
a + ∆p+1,p
b
) (18)
5
¯δ =
1
4
Xp=4
p=1
δ
p
a,b (19)
O valor m´edio para o magn´eton de Bohr ´e µB = 6, 767 · 10−24 J/T, o desvio percentual com rela¸c˜ao ao valor
que consta na literatura (µB = 9, 273 · 10−24 J/T) ´e de 27,02%.
O gr´afico 1 mostra os pontos associados aos valores de ∆ν/2 (m−1
) e seus respectivos valores de B, a reta que
passa entre eles tem a forma funcional B = A∆ν/2, logo, µB = hc/A, onde A ´e o coeficiente angular da reta. O
resultado da regress˜ao linear fornece A = (−0, 01±0, 03) Tm, com isso, µB = 1, 935·10−24 J/T. O desvio percentual
com rela¸c˜ao ao valor de (µB = 9, 273 · 10−24 J/T) vale 79,1%.
Conclus˜ao
O experimento permitiu a obten¸c˜ao do valor do magn´eton de Bohr, a incerteza associada ao valor calculado e o
desvio percentual m´aximo n˜ao excede 80%. O aparato experimental permitiu a visualiza¸c˜ao do efeito Zeeman com
clareza, al´am de possibilitar a determina¸c˜ao de uma grandeza f´ısica muito pequena por um m´etodo simples e de f´acil
execu¸c˜ao experimental. Uma das principais fontes de erro desse experimento est´a nas aproxima¸c˜oes mostradas nas
equa¸c˜oes (14) e (15), que permitem o c´alculo de ∆ν pela equa¸c˜ao (16), mas propagam erros. Na tabela (2) ´e poss´ıvel
ver que os valores de ∆p+1,1
a
e ∆p+1,1
b
(p = 1, 2, 3) apresentam diferen¸cas, assim como δ
p+1
a
e δ
p
a
(p = 1, 2, 3, 4), o
que mostra que as aproxima¸c˜oes realmente carregam erros durante os c´alculos.
Bibliografia
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[3] H. M. Nussensweig. Curso de F´ısica B´asica. Vols. 3 e 4, Editora Edgard Bl¨ucher, 1997.
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