Conjuntos numéricos

O objetivo deste trabalho é apresentar a definição, a necessidade do surgimento e a importância dos conjuntos numéricos.

Matemática

Conjuntos

Conjuntos numéricos

O objetivo deste trabalho é apresentar a definição, a necessidade do surgimento e a importância dos conjuntos numéricos. É um conceito matemático que até mesmo graduandos em matemática possuem dificuldade em definir uma definição eficiente e verossímil.

A definição de conjuntos, pode ser entendida como um agrupamento de elementos que possuem características semelhantes. Tal como o conjunto de pessoas que nasceram em determinado ano, o conjunto de letras do alfabeto, etc... No caso da matemática, os elementos são os números, e os conjuntos numéricos servem para que qualquer número que você seja capaz de pensar, exista uma classificação para o mesmo.

A necessidade de entender onde um número está presente é importantíssimo em algumas questões específicas de vestibular, mas também entender como funciona os números e seus conjuntos na nossa realidade é importante para termos nossas próprias análises sobre o uso dos mesmos, principalmente na era digital onde fake news não só podem, como definem resultados de eleições.

Como existem vários “tipos” de números, estes são divididos em diferentes conjuntos, que foram surgindo ao longo do tempo com o estudo matemático sobre os mesmos:

O primeiro deles é o conjunto do números naturais, que surgiu cerca de 4000 anos a.C., vale lembrar que o que foi criado nessa época foi a escrita dos símbolos para realizar a contagem de elementos.

- Conjunto dos Números Naturais (N)

É um conjunto que seu primeiro elemento é o número 0 e todos os elementos tem um sucessor, fazendo assim um ciclo infinito, pois:

O 0 é o primeiro, e na definição do conjunto, temos o seu sucessor o 1,

Existindo o número 1, a definição também engloba seu sucessor 2, e assim sucessivamente.

N = {0,1, 2, 3, 4, 5, ..., 98, 99, 100, 101, 102, …, 172847502, ...}

Diante da expansão da economia, da arte, da cultura, das ciências e das políticas, o matemático chamado Brahmagupta, nascido em 598, considerou que um número não deveria ser visto apenas para quantificar ganhos mas poderiam ser vistos para representar, também, as perdas. Neste sentido, surgiram também os números inteiros. Foi algo tão controverso na academia matemática, que só foi aceito por volta de 1500 d.C

- Conjunto dos Números Inteiros (Z)

Possui a mesma definição do conjunto dos números Naturais, mas também com a existência do antecessor de qualquer elemento, trazendo assim os números negativos.

Tal como existe 0, existe seu antecessor -1, -2, e assim sucessivamente.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Por volta de 3000 a.C, algumas civilizações começaram a ter problemas com operações onde os resultados de algumas não eram os números “perfeitos” (números naturais), nesse cenário foi criado o conjunto dos números racionais onde foi criado o sistema decimal positivos possibilitando assim trabalhar com os números “imperfeitos” (números racionais).

- Conjunto dos Números Racionais (Q)

São todos os números e inteiros que podem ser escrito na forma de uma fração (divisão):

ab=ab, com “b” sendo diferente de 0, pois não existe divisão por 0 até então.

E também baseando-se no desenvolvimento feito por Brahmagupta, a e b devem ser números inteiros.

Exemplos: 104,-300200,20-6

Por volta do ano de 530 a.C., estudiosos, chamados pitagóricos descobriram os números irracionais por meio do teorema de pitágoras no caso específico da diagonal do quadrado de lado 1.

- Conjunto dos Números Irracionais (I)

São números decimais infinitos (pois possui casas decimais infinitas), não periódicos (sem repetições como as dízimas periódicas: 13=0,3333..., que são apenas racionais), e não podem ser escritos na forma de fração.

Exemplos numeros Irracionais:

ϕ(Phi)=1,618033..

π(Pi)=3,14159265358979323846…

e (constante de Euler) =2,718281828459045235360287

2=1,414213562... (valor da diagonal do quadrado de lado 1)

-0,32473264....

- Conjunto dos Números Reais (R)

É um conjunto numérico que junta todos os anteriores, nada mais nada menos que o conjunto de todos os números possíveis, estejam eles enquadrados nas regras anteriores ou não.

Representação Gráfica:

Observações:

Perceba que o conjunto N é uma parte do conjunto Z; que o conjunto Z é uma parte do conjunto Q; que o conjunto Q é uma parte do conjunto R; e que o conjunto R é uma parte do conjunto C.

Em outras palavras, isso quer dizer que todo número natural (N), também é um número inteiro (Z); que todo número inteiro (Z), também é um número racional (Q); que todo número racional (Q), também é um número real (R); e que todo número real (R), também é um número complexo (C).

Ou ainda, pode-se dizer que N pertence a Z, que Z pertence a Q, que Q pertence a R, que R pertence a C.

Perceba também, que os números irracionais (I) são um conjunto à parte, que pertencem ao conjunto dos números reais.

Existem, ainda, alguns conjuntos especiais de números, todos eles fazendo parte dos conjuntos descritos.

Um dos mais importantes são os números primos, que são aqueles que são divisíveis apenas por ‘1’ e por ele mesmo. Por exemplo, 13. Esse é um número que só pode ser dividido por ‘1’ e por ‘13’, pois qualquer outra divisão resultará em um número fracionário.

Números Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …

Numeros Pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …

Números Impares: 1, 3, 5, 7, 9,11, 13, 15,

Entender as relações de conjuntos é um exercício de pura análise e sem contas, assim como também podemos fazer a análise sintática, também podemos fazer a análise numérica.

Os exercícios a seguir, tendem a fixar o conceito abordado, mas também recomendo a vídeo aula “CONJUNTOS NUMÉRICOS: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais” - Rodrigo Ribeiro - https://bit.ly/308KLvu

Exercicios

Os números abaixo pertencem aos conjuntos {I,R,C}, EXCETO:

a) b) c) d) e)

O número pertence a quais conjuntos?

a) {I,C} b) {C} c){I,R,C} d){Q,R,C} e) {N,Z,Q,R,C}

Sobre os conjuntos numéricos, assinale a alternativa FALSA.

a) A união de qualquer subconjunto dos números naturais com qualquer subconjunto dos números reais está contida no conjunto dos números racionais.

b) A intersecção de qualquer subconjunto dos números racionais com qualquer subconjunto dos números irracionais é vazia.

c) A intersecção de qualquer subconjunto dos números irracionais com o conjunto dos números complexos está contida no conjunto dos números reais.

d) A união de qualquer subconjunto dos números racionais com um subconjunto dos números irracionais está contida no conjunto dos números complexos.

e) A intersecção de qualquer conjunto com o conjunto dos números inteiros está contida dentro do conjunto dos números racionais.

O número pertence a quais conjuntos?

a. {I,R,C}

b. {I,C}

c. {C}

d. {Q,R,C}

e. {N,Z,Q,R,C}

Classifique a quais conjunto numéricos os números da seguinte imagem se pertencem:

Numero da fatura: 675327993
Data da fatura : 10/02
Quantidades de litros: 12000
Preço do litro: 4,68
Valor Total em combustível em apenas 1 fatura: 56.160,00

Gabarito

D
E
A
D
Será dado a resposta no próximo material que trabalhará as 4 operações elementares (onde calcularemos quantos carros dá pra se abastecer com essa quantidade de gasolina: 218 e muitas outras “perólas” do nosso governo) usando os números já estudados.