Frações

Frações

Se você perguntar às pessoas qual tópico elas começaram a ter problemas com a matemática, a maioria delas responderá - com frações. E no fundo essas pessoas no são as culpadas. Frações não são realmente um tópico fácil. O estudo das frações requer muita paciência e atenção, principalmente se a pessoa estiver estudando pela primeira vez.

     Como já vimos na aula sobre conjuntos numéricos, os números racionais surgiram no Egito Antigo por volta de 3000 a. C, devido aos problemas com algumas divisões de terras. O conceito de frações veio alguns anos depois por volta de 1.900 a.C. no reinado do Faraó Sesóstris. A definição formal de fração é:                                              

Número que exprime uma ou várias das partes menores em que se dividiu uma unidade ou um inteiro. (Dicionário Michaelis). 

ab = ab, com b 0

Essa expressão é feita na forma de um número (numerador “a”) dividido por outro (denominador “b”). 

Considere um exemplo cotidiano. Compramos pizza para comer durante o dia. Suponha que decidimos dividi-lo em quatro partes para comer um pedaço de cada vez.

Imagine que esta é a nossa pizza, ela está dividida em quatro pedaços. Cada pedaço de pizza é uma fração, porque cada pedaço individualmente faz parte da pizza. Suponha que comemos um pedaço. Como gravar? Muito simples. Primeiro, uma pequena linha é desenhada: 

-

Embaixo desta linha, está escrito quantos pedaços de pizza foram divididos. A pizza foi dividida em quatro pedaços. Então, quatro está escrito na parte inferior da linha:

E no topo desta linha está escrito quantos pedaços de pizza foram consumidos. Um pedaço foi comido, depois escrevemos a unidade acima:

Neste caso o numerador vale 1, enquanto o denominador é 4. E lemos como “um quarto”.

Agora imagine que não dividimos a pizza em quatro partes, mas em três:

Suponha que comemos uma fatia dessa pizza. Como registrar essa fração? Novamente, uma pequena linha é desenhada. O número 3 está escrito na parte inferior desta linha, uma vez que a pizza é dividida em três partes, e o número 1 está escrito na parte superior desta linha:

Neste caso o numerador vale 1, enquanto o denominador é 3. Lemos “um terço”.

O traço na fração que separa o numerador do denominador significa divisão. Ela diz que o numerador pode ser dividido pelo denominador.

A principal propriedade da fração

A propriedade principal da fração diz que, se o numerador e denominador da fração forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número, você obterá uma fração igual. Isso significa que o valor da fração não será alterado.

Por exemplo, considere uma fração 12. Multiplique seu numerador e denominador pelo mesmo número, por exemplo, pelo número 2.

Tem-se uma nova fração  24.  Vamos verificar se isso está correto desenhando essas frações na forma de fatias de pizza:

     , logo:    

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois números, nada mais é do que encontrar o menor número que seja divisível (divisão exata, sem resto) por ambos ao mesmo tempo. Essa ferramenta será utilizada para realizarmos algumas das operações com frações. Vejamos alguns exemplos teóricos antes de aprendermos as contas propriamente ditas:

Exemplo 1: Determinar o MMC entre 6 e 9.

Qual é o menor número que é divisível por 6 e 9, ao mesmo tempo?

Resposta: 18, pois 18 / 6 = 3 e 18 / 9 = 2.

Exemplo 2: Determinar o MMC entre 14 e 21.

Qual é o menor número que é divisível por 14 e 21, ao mesmo tempo?

Resposta: 42, pois 42 / 14 = 3 e 42 / 21 = 2.

Exemplo 3: Determinar o MMC entre 22, 33 e 44.

Qual é o menor número que é divisível por 22, 33 e 44, ao mesmo tempo?

Resposta: 132, pois 132 / 22 = 6, 132 / 33 = 4 e 132 / 44 = 3.

Uma forma genérica de se calcular o MMC de dois ou mais números é realizar a decomposição (ou fatoração) simultânea deles. Para tanto, devemos ir dividindo cada um dos números pelo menor fator primo (APENAS NÚMEROS PRIMOS) e, caso o número não seja divisível por aquele fator primo, ele deve ser repetido. Segue a resolução passo a passo:

Exemplo 1: Determinar o MMC entre 6 e 9.

6, 9 | 2     (Dividimos os valores possíveis pelo menos número primo possível “2”, no caso do 9 apenas copiamos);

3, 9 | 3     (Como nenhum dos 2 valores pode ser dividido por 2, partirmos para o próximo número primo “3”);

1, 3 | 3     (Repetimos a divisão por “3”, e copiamos o número 1 que não pode ser dividido);

1, 1 |       (Nesta etapa finalizamos as divisões, e para descobrir o valor do MMC, basta multiplicarmos os números primos usados na fatoração).

M.M.C(6,9) = 233 = 18, como já haviamos visto anteriormente.

Exemplo 2: Determinar o MMC entre 14 e 21.

14, 21 | 2    (Dividimos pelo primeiro número primo “2”, e copiamos o 21 por não ser divisível por 2);

7, 21    | 3      (Como nenhum dos valores é divisível por “2”, usaremos o “3”);

7, 7      | 7       (Como nenhum dos valores é divisível por “3” ou “5”, usaremos o “7”);

 1,1      |         (Nesta etapa finalizamos as divisões, e para descobrir o valor do MMC, basta multiplicarmos os números primos usados na fatoração).

M.M.C(14,21) = 237=42, como ja haviamos visto anteriormente.

Exemplo 3: Determinar o MMC entre 22, 33 e 44.

22, 33, 44 | 2     (Dividimos pelo primeiro número primo “2”, e copiamos o 33 por não ser divisível por 2);

11, 33, 22 | 2    (Dividimos pelo primeiro número primo “2”, e copiamos o 11 e 33 por não serem divisíveis por 2);

11, 33, 11 | 3     (Dividimos pelo próximo número primo “3”, e copiamos o 21 por não ser divisível por 2);

11, 11, 11 | 11      (Como nenhum dos valores é divisível por “5” ou “7”, usaremos o “11”);

1, 1, 1      |       (Nesta etapa finalizamos as divisões, e para descobrir o valor do MMC, basta multiplicarmos os números primos usados na fatoração).

M.M.C (22,33,44) = 22311 = 132, como ja haviamos visto anteriormente.

Alguns exercícios a seguir serão suficientes para fixar o conteúdo, para que na sequência tratemos das operações com frações

Exercícios

1. Uma loja de aviamentos vende prendedores de cabelo em embalagens com 15 unidades e lacinhos em embalagens com 6 unidades cada uma. Uma pessoa que deseja comprar a mesma quantidade de lacinhos e de prendedores de cabelo deverá comprar quantas embalagens no total? (Dica: basta fazer o M.M.C de 15 e 6)

2. Calcule o MMC para 3, 21 e 2. 

3. Calcule o MMC para 2, 4, 5 e 21.

4. Um ciclista dá uma volta em torno de um percurso em 12 minutos. Já outro ciclista completa o mesmo percurso em 20 minutos. Se ambos saem juntos do ponto inicial de quantos em quantos minutos se encontrarão no mesmo ponto de partida? (M.M.C de 12 e 20)

5. Num clube, o presidente é eleito a cada 4 anos, o vice- presidente a cada 3 anos e o secretário a cada 2 anos. Se em 1981 houve eleição para os três cargos, em que ano isso ocorrerá novamente? (M.M.C de 4, 3 e 2)

6. Alguns cometas passam pela Terra periodicamente. O cometa A visita a Terra de 12 em 12 anos e o B, de 32 em 32 anos. Em 1910, os dois cometas passaram por aqui. Em que ano os dois cometas passarão juntos pelo planeta novamente? (M.M.C de 12 e 32)

Gabarito

1. 30

2. 42

3. 420

4. 60min ou 1 hora

5. 1993

6. 2006