Por que eu posso multiplicar em cruz? A/B = C/D

Eu sei que podemos fazer isso. Mas por que isso funciona, professor?

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"POR QUE PODEMOS MULTIPLICAR EM CRUZ ?

Professor, eu sei que a gente pode fazer isso. Eu quero saber por que podemos. De onde vem essa ideia?"

A maioria desses problemas de equações, senão todos, são provados usando o conceito básico do que significa uma equação:

Vocês sabem o que é uma equação?

Uma equação é uma igualdade, ou seja, tudo o que tem do lado esquerdo do sinal de igual (=) deve ser igual ao que tem do lado direito. Se a igualdade não acontecer, não temos uma equação. Falando de um outro jeito, uma equação funciona como uma balança (uma gangorra). Se você adiciona 10kg do lado esquerdo, você deve adicionar 10kg do lado direito para que a balança fique equilibrada e nós tenhamos uma igualdade.

Se você tiver uma criança de 30kg sentada no lado esquerdo da gangorra e uma outra criança de 40kg do lado direito, a gangorra vai desequilibrar e nós não vamos ter uma igualdade, não vamos ter uma equação.

Isso parece sem importância e geralmente passa despercebido até para os professores, porque os estudantes e professores estão acostumados a resolver milhões de contas como se fossem robôs, sem saber o que de fato isso significa. O que de fato siginifica resolver uma equação? Por que funciona "passar um valor divindo, passar um valor multiplicando, passar subtraindo, etc"?

Tenha sempre em mente que toda equação é uma balança e repita comigo: TUDO O QUE EU FAÇO DO LADO ESQUERDO DO SINAL DE IGUAL, EU DEVO FAZER DO LADO DIREITO PARA EQUILIBRAR A BALANÇA.

Portanto, se eu dividir por 10 do lado esquerdo da equação, eu tenho que dividir por 10 do lado direito. Se eu multiplico por um valor X do lado esquerdo, eu devo multiplicar por X do lado direito. E assim por diante.

1+1 = 2

Se eu multiplicar por 5 do lado esquerdo, eu devo multiplicar por 5 do lado direito. Assim:

5*(1+1)= 5*(2)

5+5 = 5*2 = 10

Sabendo disso, conseguimos provar a maioria das equações, como o caso:

Olhando para essa equação de cima, eu já quero "fazer desaparecer o valor de B" que está no denominador. Se eu dividir B por B, teremos como resultado o valor um (1). Por isso, eu já penso em multiplicar os dois lados da igualdade por B. Vamos fazer isso:

E para fazer "desaparecer o valor D", fazemos a mesma mágica de multiplicar os dois lados da equação por D:

Por último, cancele do lado esquerdo da igualdade B com B; e do lado direito cancele D com D.

O resultado final é:

Se tivermos uma balança equilibrada(= o lado esquerdo igual ao direito), podemos multiplicar em cruz todas as vezes que vai funcionar! Olha que lindo isso! Esse raciocínio é matemática!

"Professor, mas e se a balança estiver desequilibrada - um lado maior que o outro. Podemos multiplicar em cruz? O que acontece, nesse caso?"

É assim que eu gosto! Então faça as contas comigo e veja se essa regra vale ou não!