Introdução à Matemática Financeira

 

Olá pessoal!

 

Trago aqui um pequeno resumo introdutório sobre Matemática Financeira. Espero que auxilie o estudo de vocês.

 

♦ INTRODUÇÃO:

 

A matemática financeira, em síntese, trabalha com a variação do valor do dinheiro no tempo. Simples assim!

 

Afinal, ainda que não tenhamos uma noção técnica, sabemos que um determinado montante hoje não possui o mesmo valor daqui a 10 anos, por exemplo, seja pela inflação, deflação, juros, risco etc. Um empréstimo recebido hoje, será pago em duras prestações por um valor muito maior. Da mesma forma, um certo capital aplicado hoje possuirá valor superior em um período futuro. Ou, de forma mais simplificada, 2 reais hoje não compram aquele antigo lanche completo da cantina da escola (01 salgado + 01 refrigerante). rs

 

Assim, esse ramo específico da matemática nos auxilia a entender e calcular as variáveis que compõem o processo em questão, a saber: tempo, taxa de juros, capital e montante.

 

Importante, desde já, entendermos o significado básico e as principais denominações de cada uma dessas 04 variáveis, com base nos ensinamentos de Ernesto Coutinho Puccini:

 

• TEMPO (n): é a duração da operação financeira, ou seja, período durante o qual o capital (C) sofrerá a incidência da taxa de juros (i) culminando na geração de um montante final (M).

• JUROS (J): é o valor da remuneração do capital (C) acordado entre o credor e o tomador em uma determinada operação financeira. A taxa de juros (i) representa o percentual que atuará periodicamente sobre o capital para a geração dos juros, variando sua forma de incidência de acordo com o regime de capitalização.

• CAPITAL (C): é o valor de um ativo representado por moeda e/ou direitos passíveis de uma expressão monetária, no início de uma operação financeira. Também comumente denominado principal, valor atual, valor presente, entre outros sinônimos.

• MONTANTE (M): é a soma do capital (C) e do juro (J) que foi acordado na operação financeira e que é devido ao final da mesma. Também denominado como valor futuro, valor final, valor nominal, entre outros sinônimos.

*obs.: os sinônimos aqui apresentados visam apenas facilitar o entendimento e e simplificar a aplicação das fórmulas para resolução das questões. Em regra, os termos utilizados como sinônimos apresentam pequenas variações conceituais, mas que não prejudicam o resultado final.

 

A regra geral, portanto, é que o MONTANTE é igual ao CAPITAL acrescido do JUROS acumulado no período, sendo este último diretamente influenciado pela taxa, tempo e regime de capitalização.

 

Sendo assim, Montante = Capital + Juros     →       M = C + J

 

Para complementar, deixo um vídeo interessante e didático de autoria de Marcelo Bemerguy: https://www.youtube.com/watch?v=8LoOFpoQWys

 

Superada essas noções fundamentais, é preciso entender que tais variáveis podem ser calculadas sobre um regime de juros simples ou em um regime de juros compostos, produzindo montantes distintos, em razão da forma em que é feita a capitalização dos juros.

 

♦ JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS:

 

Conforme tratado no tópico anterior, juros é o termo utilizado para designar o preço do dinheiro no tempo. Quando você pega certa quantia emprestada no banco, o banco te cobrará uma remuneração em cima do valor que ele te emprestou, pelo fato de deixar você ficar na posse desse dinheiro por um certo tempo. Esta remuneração é expressa pela taxa de juros.

 

Relembrando: como regra geral, temos que o Montante (valor futuro) é o valor do Capital (principal) acrescido do Juros do período, o que implica duas fórmulas importantes para a resolução das questões de Matemática Financeira:

M = C + J

 

J = M – C

A forma de incidência da taxa afetará diretamente o crescimento dos juros e, consequentemente, o valor final do montante. Existem dois regimes principais de cobrança de juros: juros simples e juros compostos, os quais serão detalhados a seguir.

 

○ JUROS SIMPLES:

 

No regime de juros simples, a taxa de juros sempre incidirá apenas sobre o valor do capital inicial, não sendo cobrado juros sobre juros. Ou seja, a formação do montante em juros simples é linear, com juros capitalizados apenas ao final do período.

 

Utilizando como exemplo um empréstimo de R$ 1.000,00 a ser pago daqui a 05 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao mês, teríamos o seguinte comportamento dos juros ao longo do período:

 

MÊS	TAXA	BASE DE CÁLCULO DOS JUROS	JUROS SIMPLES
1	15%	1000	150
2	15%	1000	150
3	15%	1000	150
4	15%	1000	150
5	15%	1000	150
TOTAL DE JUROS NO PERÍODO:			R$ 750,00
CAPITAL:			R$ 1.000,00
MONTANTE:			R$ 1.750,00

 

Fácil notar que o total de juros do período resulta de uma mera multiplicação: juros do período  (J) = capital inicial (C) x taxa de juros (i) x tempo (n). No caso em questão, juros do período = 15% x 1000 x 5 = 750. Portanto, surge aqui outra fórmula importante para resolução das questões:

J = C . i . n

Juntando a fórmula acima com a fórmula 01, temos o seguinte:

M = C + J

M = C + (C . i . n)

M = C (1 + i . n)

O que implica em uma segunda fórmula envolvendo juros simples:

M = C . (1 + i . n)

Sobre o regime de juros simples, importante mencionar que se trata de um regime mais teórico, sendo raramente aplicado na prática. Em geral, é usado geralmente em operações de curto prazo (período menor do que 1), pois dá resultado maior, como será visto adiante. Por essa razão, caso a questão a ser resolvida não especifique o regime, devemos considerar como padrão o regime de juros compostos.

 

Apenas com essas fórmulas, já é possível resolver algumas questões típicas de juros simples.

 

○ RESOLUÇÃO DE QUESTÕES (JUROS SIMPLES):

 

• QUESTÃO 01 (IESES) – Uma aplicação financeira de $ 2.500,00 feita por 6 meses a taxa de juros simples de 20% ao ano resulta no montante de:

 

Observe que a taxa de juros e o período analisado devem referir-se à mesma unidade temporal (neste caso, ambos se referem a meses). Se elas não estiverem na mesma unidade, o primeiro passo da resolução deve ser a uniformização destas unidades (a conversão de taxas proporcionais e equivalentes não será abordada neste artigo).

 

M = ?

C = 2500

i = 20% ao ano = 0,20

n = 6 meses = 1/2 ano

 

M = C . (1 + i . n)

M = 2500 . (1 + 0,20 . 0,5)

M = 2500 . 1,1

M = 2750

 

• QUESTÃO 02 (CESPE) – Clarice investiu R$ 5.000 em uma aplicação que paga juros simples à taxa de 8% ao ano, líquidos. Passados nove meses de investimento do capital, ela resgatou o montante da aplicação, tendo encerrado o investimento.

 

M = C . (1 + i . n)

M = 5000 . (1 + 0,08 . 0,75)

M = 5000 . 1,06

M = 5300

 

• QUESTÃO 03 (CESPE) – Se R$ 40.000,00 aplicados por 5 meses no regime de juros simples produzir um montante superior a R$ 45.000,00, então a taxa anual de juros dessa aplicação terá sido superior a...?

 

M = C . (1 + i . n)

45000 = 40000 . (1 + i . 5)

45000/40000 = 1 + 1.5

1,1250 = 1 + i.5

i = 0,1250/5

i = 0,025 = 02,50% a.m. = 30% a.a. 

 

• QUESTÃO 04 (CESGRANRIO) – Um aplicador realizou um investimento cujo valor de resgate é de R$ 80.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de:

 

M = C . (1 + i . n)

80000 = C . (1 + 0,035 . 5)

80000 = C . 1,175

C = 80000 / 1,175

C = 68085,11

 

• QUESTÃO 05 (VUNESP) – Um capital aplicado a juro simples, com taxa de 10,2% ao ano, durante 4 meses, rendeu um juro de R$ 68,00. O valor do capital aplicado era:

 

M = C . (1 + i . n)

M = C + J

C + J = C . (1 + i . n)

C + 68 = C . (1 + 0,0085 . 4)

C + 68  = C . 1,034

1,034C - C = 68

C = 2000

 

• QUESTÃO 06 (FCC) – Uma determinada pessoa deseja comprar uma televisão e a loja ofereceu as seguintes condições: Preço à vista = R$ 3.200,00; Condições a prazo = entrada de R$ 1.000,00 e R$ 2.497,00 em 90 dias. A taxa de juros simples mensal cobrada na venda a prazo é de:

 

M = C . (1 + i . n)

2497 = (3200 - 1000) . (1 + i . 3)

2497 / 2200 = 1 + i . 3

1,135 = 1 + i . 3

i = 0,135 / 3

i = 0,045 = 4,5% a.m.

 

○ JUROS COMPOSTOS:

 

Diferente do que ocorre no regime de juros simples, a formação do montante em juros compostos é exponencial, ou seja, os juros compostos são capitalizados periodicamente, incidindo sobre capital e juros do período anterior (juros sobre juros). Portanto, por gerar um volume maior de juros (na grande maioria dos casos), é o regime amplamente adotado no sistema financeiro, de modo geral.

 

Utilizando o mesmo exemplo empregado no tópico anterior (empréstimo de R$ 1.000,00 a ser pago daqui a 05 meses, a uma taxa de juros compostos de 15% ao mês), temos o seguinte:

 

MÊS	TAXA	BASE DE CÁLCULO DOS JUROS	JUROS COMPOSTOS
1	15%	1000,00	150
2	15%	1150,00	172,50
3	15%	1322,50	198,37
4	15%	1520,87	228,13
5	15%	1749,00	262,35
TOTAL DE JUROS NO PERÍODO:			R$ 1.011,35
CAPITAL:			R$ 1.000,00
MONTANTE:			R$ 2.011,35

 

Nota-se que o montante gerado (2011,35) é consideravelmente superior ao montante de juros simples (1750). Isso porque, diferente do anterior, o valor futuro no regime de juros compostos é encontrado através da seguinte fórmula (que envolve exponenciação e não mais mera multiplicação):

M = C . (1 + i)n

Por envolver potência (o que demanda mais tempo para calcular do que uma simples multiplicação), o chamado Fator de Acumulação de Capital (FAC) geralmente é fornecido em tabela separada ou ao final da própria questão, bastando então multiplicar o respectivo FAC pelo capital para encontrar o montante. FAC = (1+i)ⁿ

 

Sobre as diferenças quantitativas entre juros simples e juros compostos, importante ressaltar que, em um único período (um só mês, por exemplo), não há diferença entre os saldos gerados (Afinal, multiplicar por 01 ou elevar determinado número apenas 01 vez, não gera qualquer alteração). Além disso, em períodos inferiores a 01 (0,2 mês, por exemplo), o montante gerado por uma taxa de juros compostos é inferior ao gerado por uma taxa de juros simples.

 

Portanto, resumindo:

• períodos maiores do que 1 → juros compostos > juros simples;

• períodos menores do que 1 (entre 0 e 1) → juros compostos < juros simples;

• período igual a 1 → juros compostos = juros simples.

 

• OBSERVAÇÕES COMPLEMENTARES:

- usar a chamada convenção linear significa usar juros compostos em períodos maiores do que 1 e juros simples nos períodos quebrados entre 0 e 1. Por exemplo, em um período de 5,2 meses sob regime de juros compostos, calcular o montante após 5 meses e, em seguida, pegar esse montante e capitalizá-lo por mais 0,2 meses sob juros simples. Se a questão não mencionar explicitamente a convenção linear, deve-se usar a convenção exponencial normal, que significa elevar a 5,2 direto, tudo em juros compostos.

- Juros Exatos: ano civil, com 365/366 dias e meses com 28-31 dias, devendo colocar a quantidade exata do mês. Ex.: jan. com 31, fev. com 28/29, etc;

- Juros Comerciais ou Ordinários: ano comercial, com 360 dias e meses sempre com 30 dias (30 x 12 = 360).

- taxa média e prazo médio: é só pegar o capital e o montante das várias operações e refazer o cálculo em uma única operação com a soma dos capitais e a soma do montante esperado.

- em uma questão de juros compostos na qual seja preciso achar a taxa de juros, há grande chance de precisar resolver uma equação de 2º grau por meio de Bhaskara, devendo-se desconsiderar valor negativo, pois taxa de juros é positiva.

- quando precisa-se encontrar o prazo em juros composto pode ser útil utilizar logaritmo (log_XY = Z significa X^Z = Y). A principal propriedade utilizada em matemática financeira é log A^B = B x log A. 

 

○ RESOLUÇÃO DE QUESTÕES (JUROS COMPOSTOS):

 

• QUESTÃO 01 (IESES) – Um capital de $ 2.000,00 aplicado por dois meses no regime dos juros compostos a taxa de 3% ao mês, resultará no montante de:

 

M = ?

C = 2000

i = 3% = 0,03

n = 2

 

M = C . (1 + i)ⁿ

M = 2000 . (1 + 0,03)²

M = 2000 . 1,03²

M = 2000 . 1,0609

M = 2121.80

 

• QUESTÃO 02 (CESPE) – Amélia, aposentada do INSS, fez um empréstimo consignado, no valor de R$ 2.000, a determinada taxa de juros compostos ao mês, para ser pago em 2 anos. Sabe-se que, se o empréstimo fosse feito nas mesmas condições, mas para ser pago em 1 ano, Amélia pagaria o montante de R$ 3.000. Nesse caso, o montante real pago por Amélia ao final dos 2 anos foi:

 

M = C . (1 + i)ⁿ

3000 = 2000 . (1 + i)¹

3000 / 2000 = 1 + i

1,5 = 1 + i

i = 1,5 - 1

i = 0,5 = 50% a.m.

 

M = C . (1 + i)ⁿ

M = 2000 . (1 + 0,5)²

M = 2000 . 2,25

M = 4500

 

• QUESTÃO 03 (FCC) – Sérgio recebeu um adiantamento e negociou que a devolução seria paga em duas parcelas iguais de R$ 1.210,00, a primeira, um mês após o recebimento do adiantamento, e a segunda, um mês depois do pagamento da primeira parcela. Sabendo que foram cobrados juros compostos de 10% ao mês, o valor que Sérgio recebeu pelo adiantamento foi de:

 

M = C . (1 + i)ⁿ

1210 = C₁ . (1 + 0,10)¹

1210 = C₁ . 1,1

C₁ = 1100

 

1210 = C₂ . (1 + 0,10)²

1210 = C₂ . 1,1²

C₂ = 1210 /  1,21

C₂ = 1000

 

Adiantamento = C₁ + C₂ = 1100 + 1000 = 2100

 

• QUESTÃO 04 (FGV) – Tiago fez um empréstimo de R$ 3000,00 para pagar em duas parcelas com vencimento em 30 e 60 dias, com juros de 10% ao mês no regime de juros compostos. Se a primeira parcela foi de R$ 1700,00, o valor da segunda parcela que liquidou a dívida foi de:

 

M = C . (1 + i)ⁿ

1700 = C₁ . (1 + 0,10)¹

C₁ = 1700 / 1,1

C₁ = 1545,45

C₂ = 3000 - C₁ = 3000 - 1545,45 = 1454,55

 

M = C . (1 + i)ⁿ

M₂ = 1454,55 . (1 + 0,10)²

M₂ = 1454,55 . 1,21

M₂ = 1760

 

• QUESTÃO 05 (FCC) – Ao final de um mês de aplicação financeira, Antônio resgatou R$ 2.121,00, o que correspondeu a um resgate com 1% de rendimento em relação ao valor aplicado no início do mês. Nas condições descritas, o valor aplicado por Antônio no início do mês foi de

 

Observe que, por se tratar de um único mês, tanto faz o regime de juros (simples ou compostos).

 

M = C . (1 + i)ⁿ           ou        M = C . (1 + i . n)

2121 = C . (1 + 0,01)

2121 / 1,01 = C

C = 2100

 

• QUESTÃO 06 (FCC) – Rodrigues recebeu uma quantia em dinheiro em uma determinada data. A metade dessa quantia ele aplicou sob o regime de capitalização simples, a uma taxa de 9,6% ao ano, durante 6 meses. A outra metade ele aplicou sob o regime de capitalização composta, a uma taxa de 2% ao trimestre, durante 1 semestre. Se o montante correspondente à aplicação sob regime de capitalização simples apresentou um valor igual a R$ 13.100,00, então, a soma dos valores dos juros das duas aplicações foi de:

 

M = C . (1 + i . n)

13100 = C₁ . (1 + 0,096 . 0,5)

13100 = C₁ . 1,048

C₁ = 13100 / 1,048

C₁ = 12500

 

C₁ = 12500 = C₂

 

M = C . (1 + i)ⁿ

M₂ = 12500 . (1 + 0,02)²

M₂ = 12500 . 1,0404

M₂ = 13005

 

J₁ = M₁ - C₁ = 13100 - 12500 = 600

J₂ = M₂ - C₂ = 13005 - 12500 = 505

 

J₁ + J₂ = 600 + 505 = 1105

 

É isso! Espero ter ajudado o início do caminho de vocês no entendimento da matemática financeira. Ressalto que há outros diversos aspectos a serem conhecidos. Para maiores esclarecimentos e aprofundamento na matéria (com ou sem utilização da calculadora HP-12C), basta me procurar aqui no Profes!

 

Abraço!

 

PROF. RODRIGO XAVIER

https://profes.com.br/rodrigo.xavier