Operações de Desconto

Olá pessoal!

Tenho notado que, dentro da disciplina de Matemática Financeira, diversos alunos demonstram dificuldade em interpretar as questões e entender os respectivos cálculos relacionados às operações de desconto de títulos de crédito. Diante disso, trago aqui um pequeno resumo sobre OPERAÇÕES DE DESCONTO. Espero que auxilie o estudo de vocês!

♦ INTRODUÇÃO:

Primeiramente, destaco que, para o entendimento deste conteúdo, é essencial já ter o devido conhecimento sobre as noções introdutórias de matemática financeira, especialmente quanto à questão do valor do dinheiro no tempo, principais conceitos e regimes de juros existentes. Portanto, para aqueles que ainda estão iniciando nesta disciplina, recomendo a leitura preliminar da seguinte publicação: https://profes.com.br/rodrigo.xavier/blog/introducao-a-matematica-financeira

Em síntese, uma operação de desconto pode ser entendida como o ato de resgatar um título antes do seu vencimento original, com vistas à obteção de recursos de curto prazo (capital de giro). Em outros termos, o detentor de um título de crédito a ser resgatado futuramente por um determinado valor cheio resolve receber de forma antecipada esse recurso, mesmo que por um valor menor do que o original, em virtude da incidência de juros pela antecipação do crédito (decorrência natural da variação do dinheiro no tempo, conforme já explicado no artigo sugerido anteriormente).

Antes de analisarmos as diferentes modalidades de desconto, é importante, desde já, entendermos o significado básico e as principais denominações de alguns termos-chave relacionados ao conteúdo:

• Título de crédito: qualquer documento no qual o devedor reconhece determinada dívida junta a um terceiro. Dentre os títulos usualmente descontados, se destacam: duplicata, nota promissória, cheque pré-datado, letra de câmbito, entre outros;

• Tempo (n): duração da operação financeira, ou seja, período durante o qual haverá a incidência da taxa de juros (i) culminando na redução do valor futuro ao valor resgatado;

• Taxa de juros (i): percentual que atuará periodicamente sobre o capital para a geração dos juros, variando sua forma de incidência de acordo com o regime de capitalização;

• Desconto (D): valor a ser deduzido do valor nominal (N), em razão da taxa de juros (i) incidente na operação de antecipação do título de crédito;

• Valor Nominal (N): valor original do título, o valor cheio (100%), montante a ser resgatado na data de vencimento. Outras denominações comumente usadas nos exercícios: valor futuro, valor de face, valor do título etc.;

• Valor Atual (A): valor recebido no momento do resgate antecipado do título de crédito, após a incidência da taxa de desconto da operação. Ou seja, trata-se do valor nominal (N) do título subtraído do desconto (D). Outras denominações comumente usadas nos exercícios: valor presente, valor liberado, valor descontado, valor resgatado etc.

*obs.: os sinônimos aqui apresentados visam apenas facilitar o entendimento e e simplificar a aplicação das fórmulas para resolução das questões. Em regra, os termos utilizados como sinônimos apresentam pequenas variações conceituais, mas que não prejudicam o resultado final.

Sendo assim, independente da modalidade de desconto, vale a regra geral:

Valor Nominal = Valor Atual + Desconto     →       N = A + D

Agora sim, podemos partir para o estudo dos tipos de desconto e respectivas fórmulas de cálculo, conforme apresentado a seguir.

♦ DESCONTO RACIONAL, FINANCEIRO OU "POR DENTRO":

Nesta modalidade, o desconto é feito sobre o valor atual do título. Trata-se de uma operação que segue o mesmo funcional da capitalização, normal, não muda nada, apenas denominações. Se a questão não especificar, normalmente será desconto racional (exceto se mencionar duplicata descontada em um banco). Dica: note que o "montante" (M) da fórmula de capitalização, recebe o nome de "valor nominal" (N); já o "capital" (C) recebe o nome de "valor atual" (A); e, por fim, os "juros" (J) passam a ser simplesmente "desconto" (D).

Fórmula de desconto RACIONAL sob regime de juros SIMPLES:

N = A x (1 + i x n)

D = A x i x n

Fórmula de desconto RACIONAL sob regime de juros COMPOSTOS:

N = A x (1 + i)ⁿ

D = A x (1 + i)ⁿ - A

D = N - N x (1 + i)^-n

♦ DESCONTO COMERCIAL, BANCÁRIO OU "POR FORA":

Nesta modalide, a lógica é diferente do que normalmente se adota na matemática financeira de modo geral. O desconto é feito sobre o valor futuro do título. Como consequência, o valor do desconto comercial é maior do que o valor do desconto racional, ou seja, o valor que o cliente recebe é menor, dando assim mais lucro ao banco. Operações com duplicata, em regra, adotam essa modalidade. Dica: em comperação com a fórmula do desconto racional, basta inverter N e A e trocar o sinal do FAC. 

Fórmula de desconto COMERCIAL sob regime de juros SIMPLES:

A = N x (1 - i x n)

D = N x i x n

Fórmula de desconto COMERCIAL sob regime de juros COMPOSTOS:

A = N x (1 - i)ⁿ

D = N - N x (1 - i)ⁿ

Portanto, não se deve generalizar as operações de desconto, pois as fórmulas são diferentes, gerando resultados distintos. Em razão do funcionamento de cada regime de juros e de cada tipo de desconto, pode-se afirmar que o valor do desconto em cada operação segue a seguinte lógica: o desconto comercial é maior que o desconto racional, e o regime de juros compostos (exponencial) gera desconto maiores do que no regime de juros simples (linear). Portanto, de modo geral, supondo o mesmo prazo e a mesma taxa da operação, conclui-se que:

Desconto Comercial Composto (DCC) > Desconto Comercial Simples (DCS) > Desconto Racional Composto (DRC) > Desconto Racional Simples (DRS)

Para finalizar, vale exercitar a teoria nos exercícios abaixo apresentados:

♦ EXERCÍCIOS:

1 - Determine o valor do desconto aplicado e o valor recebido pela empresa, em uma operação de desconto financeiro simples, realizada com um título de crédito de valor nominal de R$ 50.000,00, 3 meses antes do vencimento, na qual foi cobrada uma taxa de 4,50% a.m.

N = A x (1 + i x n)

50000 = A x (1 + 0,045 x 3)

50000 = A x 1,135

A = 50000 / 1,135

A = 44052,86344 ≅ 44052,86

D_r = N – A

D_r = 50000 – 44052,86

D_r = 5947,14

Resposta: O desconto aplicado foi de aproximadamente R$ 5.947,14, resultando no valor recebido de R$ 44.052,86 pela empresa.

2 - Um empreendedor descontou, em uma financeira, um cheque no valor de R$ 2500,00 para 75 dias. Calcule a taxa efetiva da operação e a taxa de desconto, sabendo-se que o desconto bancário simples, sem os demais encargos da operação financeira, foi de R$ 125,00.

D_c = N – A

125 = 2500 – A

A = 2500 – 125

A = 2375

A = N x (1 - i x n)

2375 = 2500 x (1 – i x 75/30)

2375 / 2500 = (1 – i x 2,5)

0,95 = 1 – 2,5i

2,5i = 0,05

i = 0,02 = 2,00% a.m.

i = (N/A)^1/n – 1

i = (2500 / 2375)^1/2,5 – 1

i = 1,052631579^0,4 – 1

i = 1,020729245 – 1

i = 0,020729245 ≅ 2,0729% a.m.

Resposta: A taxa efetiva da operação foi de aproximadamente 2,0729% a.m. e a taxa de desconto comercial foi de 2,00% a.m.

3 - Um cliente recebeu R$ 10.102,09 de uma instituição financeira em uma operação de desconto por dentro, sob regime de juros compostos, de um título de crédito cujo valor nominal era de R$ 12.000,00. Se a taxa de desconto utilizada foi de 3,90% a.m., determine quantos meses foi o prazo de antecipação desse título.

N = A x (1 + i)ⁿ

12000 = 10102,09 x (1 + 0,039)ⁿ

12000 / 10102,09 = 1,039ⁿ

1,187873005 = 1,039ⁿ

log 1,187873005¹ = log 1,039ⁿ

1 x log 1,187873005 = n x log 1,039

0,074770012 = n x 0,016615547

n = 0,07477012 / 0,016615547

n = 4,5

Resposta: O prazo de antecipação do título foi de aproximadamente 4,5 meses.

4 - Determine o valor nominal de um título em uma operação de desconto comercial composto com uma taxa de 3,52% a.m., 5 meses antes de seu vencimento, que produziu um desonto de R$ 12.302,86.

A = N x (1 – i)ⁿ

D_c = N – A

D_c = N – N x (1 – i)ⁿ

D_c = N x [1 - (1 – i)ⁿ]

12302,86 = N x [1 – (1 - 0,0352)⁵]

12302,86 = N x (1 – 0,83596188)

N = 12302,86 / 0,16403812

N = 75000,00609 ≅ 75000,00

Resposta: O valor nominal do título é de R$ 75.000,00.

É isso! Espero ter ajudado o caminho de vocês no entendimento da matemática financeira. Ressalto que há outros diversos aspectos a serem conhecidos. Para maiores esclarecimentos e aprofundamento na matéria (com ou sem utilização da calculadora HP-12C), basta me procurar aqui no Profes!

Abraço!

PROF. RODRIGO XAVIER

https://profes.com.br/rodrigo.xavier