Sistemas de Amortização
Rodrigo X.
em 14 de Maio de 2021

 

Olá pessoal!

 

Trago hoje um resumo sobre outro assunto visto como complicado dentro da disciplina de Matemática Financeira: SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO.

 

Espero que este material auxilie o estudo de vocês!

 

♦ INTRODUÇÃO:

 

Primeiramente, destaco que, para o entendimento deste conteúdo, é essencial já ter o devido conhecimento sobre as noções introdutórias de matemática financeira, especialmente quanto à questão do valor do dinheiro no tempo, principais conceitos e regimes de juros existentes. Portanto, para aqueles que ainda estão iniciando nesta disciplina, recomendo a leitura preliminar da seguinte publicação: https://profes.com.br/rodrigo.xavier/blog/introducao-a-matematica-financeira

 

Em síntese, os sistemas de amortização existentes representam diferentes formas de se pagar uma determinada dívida. Note como, em geral, os empréstimos consignados são pagos em parcelas iguais, enquanto o financiamento de uma casa, por exemplo, comumente é pago em parcelas decrescentes, por exemplo. Isso se deve ao fato de essas operações serem regidas sistemas de amortização distintos, conforme apresentado adiante.

 

Como regra, independente do sistema de amortização adotado, temos que o valor de cada prestação é composto de duas partes distintas: amortização e juros do período. A distinção desses conceitos é fundamental para a correta resolução das questões:

 

Saldo devedor (SD): é o valor da dívida que ainda resta a ser pago. Essa valor é periodicamente abatido através das amortizações (e não através dos pagamentos das prestações!). O saldo devedor diz respeito apenas ao que ainda resta a amortizar da dívida, não tendo qualquer relação com juros;

Prestação (P): é o valor da parcela a ser pago periodicamente, que é composto de amortização (A) + juros do período (J). Portanto: P = A + J;

Amortização (A): um dos componentes da prestação (P), que reduz periodicamente o saldo devedor (SD). Seu valor varia de acordo com o sistema de amortização vigente. E a soma de todas as amortizações será sempre igual ao valor original do saldo devedor, o que indica a liquidação da dívida;

Juros (J): um dos componentes da prestação (P), que apenas corrige o saldo devedor e, portanto, não reduz a dívida a pagar. Resulta da multiplicação da taxa de juros da operação (i) pelo saldo devedor atual (SD). Portanto, J = i x SD.

 

Tendo esses conceitos em mente, vamos analisar a seguir cada um dos quatro sistemas de amortização mais comuns, utilizando como exemplo um mesmo financiamento de R$ 100.000,00, em 5 parcelas mensais, a uma taxa de juros efetiva de 2% a.m.

 

 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE):

 

Prestações iguais/constantes, amortização crescente e juros decrescente ao longo do tempo. P= A↑ J↓

 

Para calcular o valor da PARCELA neste sistema, basta utilizar a fórmula de séries periódicas uniformes (onde VP é o valor presente da dívida, P é o valor da parcela, i é a taxa de juros e n é a quantidade de períodos da operação), conforme abaixo:

 

100000 = P . [(1 + 0,02)5 - 1] / [(1 + 0,02)5 . 0,02]

100000 = P . 0,1040808032 / 0,022081616064

100000 = P . 4,7134595

P = 100000 / 4,7134595

P = 21215,83945

 

Portanto, no sistema Price, o valor da prestação mensal é de aproximadamente R$ 21.215,84. Vejamos como esse sistema se comporta no quadro de amortização abaixo sintetizado:

 

MÊS PRESTAÇÃO AMORTIZAÇÃO (A) JUROS (J) SALDO DEVEDOR (SD)
0 - - - R$ 100.000,00
1 R$ 21.215,84 21215,84-2000= R$ 19.215,84 100000 . 0,02= R$ 2.000,00 100000-19215,84= R$ 80.784,16
2 R$ 21.215,84 21215,84-1615,68= R$ 19.600,16 80784,16 . 0,02= R$ 1.615,68 80784,16-19600,16= R$ 61.184,00
3 R$ 21.215,84 21215,84-1223,68= R$ 19.992,16 61184,00 . 0,02= R$ 1.223,68 61184,00-19992,16= R$ 41.191,84
4 R$ 21.215,84 21215,84-823,84= R$ 20.392,00 41191,84 . 0,02= R$ 823,84 41191,84-20392,00= R$ 20.799,84
5 R$ 21.215,84 21215,84-416,00= R$ 20.799,84 20799,84 . 0,02= R$ 416,00 20799,84-20799,84= R$ 0,00
R$ 106.079,20 R$ 100.000,00 R$ 6.079,20 -

 

Observação interessante para resolução de questões: a amortização mensal cresce a uma taxa de (1+i) ao mês. Exemplo:  A1 x (1 + i) = A2 --> 19215,84 x 1,02 = 19600,16.

 

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC):

 

Amortização constante, juros decrescente e parcela decrescente ao longo do tempo. P↓ A= J↓

 

Para encontrar o valor da AMORTIZAÇÃO nesse sistema, basta dividir o valor original da dívida pela quantidade de parcelas da operação, conforme abaixo:

 

A = 100000 / 5

A = 20000

 

Portanto, no sistema SAC, o valor da amortização mensal é de R$ 20.000,00. Vejamos como esse sistema se comporta no quadro de amortização abaixo sintetizado:

 

MÊS PRESTAÇÃO (P) AMORTIZAÇÃO (A) JUROS (J) SALDO DEVEDOR (SD)
0 - - - R$ 100.000,00
1 20000 + 2000 = R$ 22.000,00 R$ 20.000,00 100000 . 0,02= R$ 2.000,00 100000-20000 = R$ 80.000,00
2 20000 + 1600 = R$ 21.600,00 R$ 20.000,00 80000 . 0,02= R$ 1.600,00 80000-20000 = R$ 60.000,00
3 20000 + 1200 = R$ 21.200,00 R$ 20.000,00 60000 . 0,02= R$ 1.200,00 60000-20000 = R$ 40.000,00
4 20000 + 800 = R$ 20.800,00 R$ 20.000,00 40000 . 0,02= R$ 800,00 40000-20000 = R$ 20.000,00
5 20000 + 400 = R$ 20.400,00 R$ 20.000,00 20000 . 0,02= R$ 400,00 20000-20000 = R$ 0,00
R$ 106.000,00 R$ 100.000,00 R$ 6.000,00 -

 

Observação interessante para resolução de questões: a prestação mensal decresce de forma linear, sempre reduzindo um mesmo valor em relação à prestação anterior. No caso em análise, essa redução é de R$ 400 ao mês. Exemplo: A1 - R = A2 --> 22000,00 - 400,00 = 21.600,00.

 

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM):

 

A prestação é uma média aritmética das respectivas parcelas Price e SAC. Amortização crescente, juros decrescente e parcela decrescente ao longo do tempo. P↓ A↑ J↓

 

 

Exemplo de cálculo da primeira prestação:

PSAM1 = (PPRICE1 + PSAC1) / 2

PSAM1 = (21215,84 + 22000,00) / 2

PSAM1 = 43215,84 / 2

PSAM1 = 21607,92

 

Portanto, com base nas talebas anteriores (PRICE e SAC), basta encontrar o restante das médias de cada um dos elementos, que resultarão no quadro abaixo:

 

MÊS PRESTAÇÃO (P) AMORTIZAÇÃO (A) JUROS (J) SALDO DEVEDOR (SD)
0 - - - R$ 100.000,00
1 R$ 21.607,92 R$ 19.607,92 R$ 2.000,00 R$ 80.392,08
2 R$ 21.407,92 R$ 19.800,08 R$ 1.607,84 R$ 60.592,00
3 R$ 21.207,92 R$ 19.996,08 R$ 1.211,84 R$ 40.595,92
4 R$ 21.007,92 R$ 20.196,00 R$ 811,92 R$ 20.399,92
5 R$ 20.807,92 R$ 20.399,92 R$ 408,00 R$ 0,00
R$ 106.039,60 R$ 100.000,00 R$ 6.039,60 -

 

Note que, naturalmente, os valores são intermediários em relação aos dois sistemas anteriores.

 

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA):

 

Nesse sistema bastante peculiar, as prestações são iguais/constantes, mas compostas apenas de juros (incidente sobre o valor inicial da dívida), sendo a amortização realizada de uma única vez somente ao final do período de financiamento (sem qualquer correção monetária, pois os juros de cada mês já foram prontamente pagos pelo devedor, impedindo o crescimento da dívida).

Em outros termos, no sistema americano de amortização, apenas os juros são pagos durante o financiamento, e, ao final do prazo, a dívida é amortizada de uma só vez. Portanto, o valor pago a título de amortização em cada período é zero.

 

P = J = 0,02 . 100000 = 2000

 

Portanto, no sistema americano, o valor da prestação mensal será de R$ 2000,00, o que engloba apenas os juros de cada período, sendo a amortização integral feita apenas na última parcela. Vejamos como esse sistema se comporta na tabela abaixo:

 

MÊS PRESTAÇÃO (P) AMORTIZAÇÃO JUROS (J) SALDO DEVEDOR (SD)
0 - - - R$ 100.000,00
1 0+2000 = R$ 2.000,00 R$ 0,00 100000 . 0,02 = R$ 2.000,00 100000 - 0 = R$ 100.000,00
2 0+2000 = R$ 2.000,00 R$ 0,00 100000 . 0,02 = R$ 2.000,00 100000 - 0 = R$ 100.000,00
3 0+2000 = R$ 2.000,00 R$ 0,00 100000 . 0,02 = R$ 2.000,00 100000 - 0 = R$ 100.000,00
4 0+2000 = R$ 2.000,00 R$ 0,00 100000 . 0,02 = R$ 2.000,00 100000 - 0 = R$ 100.000,00
5 100000+2000 = R$ 102.000,00 R$ 100.000,00 100000 . 0,02 = R$ 2.000,00 R$ 0,00
R$ 110.000,00 R$ 100.000,00 R$ 10.000,00 -

 

Observação: Há uma variação conhecida como “SAA a duas taxas” ou “SAA com formação de fundo”, em que além do pagamento dos juros, o contratante paga um valor adicional, que é depositado em um investimento (denominado Fundo de Amortização ou sinking fund), visando a quitação futura do financiamento (amortização total ao final). Esse valor adicional a ser depositado mensalmente no fundo é dado por:

* a taxa de rendimento do investimento geralmente é diferente (menor) que a taxa de juros do financiamento.

* não esquecer de somar a parcela do fundo com os juros do financiamento para achar a parcela. P = Pfundo + J. 

 

OBSERVAÇÕES ADICIONAIS:

 

• Ordem decrescente de valor da primeira prestação: SAC > SAM > PRICE;

• Ordem decrescente de valor da última prestação: PRICE > SAM > SAC;

• Em todos os sistemas os juros são decrescentes, pois o saldo devedor sempre vai diminuindo de qualquer forma;

• No SAC, a amortização é mais rápida, ou seja, é o sistema no qual o capital tomado emprestado é mais rapidamente devolvido ao credor e, consequentemente, os juros cobrados é menor do que nos demais sistemas;

• Em resumo, considerando o total desembolsado com a quitação das prestações em cada sistema de amortização, temos a seguinte ordem dos montantes pagos: SAA > PRICE > SAM > SAC.

 

É isso! Espero ter ajudado o caminho de vocês no entendimento da matemática financeira. Ressalto que há outros diversos aspectos a serem conhecidos. Para maiores esclarecimentos e aprofundamento na matéria (com ou sem utilização da calculadora HP-12C), basta me procurar aqui no Profes!

 

Abraço!

 

PROF. RODRIGO XAVIER

https://profes.com.br/rodrigo.xavier

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Campo Grande / MS
Mestrado: Mestrado em Administracao Publica (Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS)
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