Ensino particular em matemática

No que se segue, partimos do principio de que toda situação de ensino e aprendizagem deve agregar o desenvolvimento de habilidades que caracterizem o “pensar matematicamente”. Nesse sentido, é preciso dar prioridade à qualidade do processo e não a quantidade de conteúdos a serem trabalhados. A escolha de conteúdos deve ser cuidadosa e criteriosa, propiciando ao aluno um “fazer matemático” por meio de um processo investigativo que o auxilie na apropriação de conhecimento.

Neste documento, os conteúdos básicos estão organizados em quatro blocos: o estudo geométrico da função, a funcionalidade da função, a função algébrica e gráficos de funções. Isso não significa que os conteúdos desses blocos devam ser trabalhados de forma estanque, mas, ao contrario, deve-se buscar constantemente a articulação entre eles.

Algumas vezes, de forma intencional, são retomados assuntos já tratados no ensino fundamental—é o momento de consolidar certos conceitos e idéias da matemática escolar que dependem de explicações cuja compreensão exige uma maior maturidade. Sugestões quanto à forma de trabalhar os conteúdos acompanham o detalhamento sempre que possível, destacando-se o valor formativo agregado e descartando-se as exigências de memorização, as apresentações de “regras” desprovidas de explicações, a resolução de exercícios repetitivos de fixação ou a aplicação direta de formulas.

No trabalho com estudo geométrico da função e a funcionalidade da função deve-se proporcionar aos alunos uma diversidade de situações, de forma a capacitá-los a resolver problemas do quotidiano, tais como: operar com relações e interpretar gráficos. Por exemplo, o trabalho com esse bloco de conteúdos deve tornar o aluno, capaz de analisar e avaliar problemas envolvendo o estudo de geométrico e a funcionalidade de funções.

Também é preciso proporcionar aos alunos uma diversidade de problemas geradores da necessidade de ampliação dos campos de equações com o qual eles irão perceber que uma função sempre é uma equação.

O estudo de funções pode ser iniciado também com uma exploração qualitativa das relações entre duas grandezas em diferentes situações: idade e altura; área do circulo e raio; tempo e distancia percorrida; tempo e crescimento populacional; tempo e amplitude de movimento de um pendulo, entre outras. Também é interessante provocar os alunos para que apresentem outras tantas relações funcionais e que, de inicio, esbocem qualitativamente os gráficos que representam essas relações, registrando os tipos de crescimento e decrescimento (mais ou menos rápido). É conveniente solicitar aos alunos que expressem em palavras uma função dada de forma algébrica, por exemplo, f(x) =2x + 3, como a função que associa a um dado valor real o seu dobro, acrescido de três unidades; isso pode facilitar a identificação, por parte do aluno, da idéia de função em outras situações, como, por exemplo, no estudo da cinemática, em física. É importante destacar o significado da representação gráfica das funçoes, quando alternamos seus parâmetros, ou seja, identificar os movimentos realizados pelo gráfico de uma função quando alteramos seus coeficientes.

O estudo de funções pode prosseguir com os diferentes modelos que devem ser objeto de estudo na escola—modelo linear, quadrático e exponencial. O modelo periódico será discutido no tópico referente às funçoes trigonométricas, mais adiante. É recomendável que o aluno seja apresentado a diferentes modelos, tomando em diferentes áreas do conhecimento (queda livre de um corpo, movimento uniforme e uniformemente acelerado, crescimento de uma colônia de bactérias, quantidade de medicamento na corrente sanguínea, rendimentos financeiros, consumo domestico de energia elétrica, etc.). Sempre que possível, os gráficos das funçoes devem ser traçados a partir de um entendimento global da relação de crescimento/decrescimento entre variáveis. A elaboração de um gráfico por meio da simples transcrição de dados tomados em uma tabela numérica não permite avançar na compreensão do comportamento das funções.

As idéias de crescimento, modelo linear (f(x) =a) e proporcionalidade direta devem ser colocadas em estreita relação, evidenciando-se que a proporcionalidade direta é um particular e importante modelo de crescimento. Nesse momento, também é interessante discutir o modelo de decrescimento com proporcionalidade inversa (f(x) =a/x). O professor deve estar atento ao fato de que os alunos identificam sistematicamente, de forma equivocada, crescimento com proporcionalidade direta e decrescimento com proporcionalidade inversa, e aqui é interessante trazer situações do quotidiano para ilustrar diferentes tipos de crescimento/decrescimento de grandezas em relação. Situação em que se faz necessária a função afim (f(x) =a.x + b) também devem ser trabalhadas.

O estudo da função quadrática pode ser motivado via problemas de aplicação, em que é preciso encontrar certo ponto de Maximo (clássicos problemas de determinação de área máxima). O estudo dessa função—posição do gráfico, coordenadas do ponto de Maximo/mínimo, zeros da função—devem ser realizado de forma que o aluno consiga estabelecer as relações entre o aspecto do gráfico e os coeficientes de sua expressão algébrica, evitando-se memorização de regras. O trabalho como uma forma fatorada (f(x) =a.(x – m) + n) pode ser um auxiliar importante nessa compreensão. Nesse estudo, também é pertinente deduzir identificação do gráfico da função quadrática com a curva parábola, entendida esta como o lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes de um ponto fixo (o foco) e de uma reta (a diretriz).

As funções polinomiais (para alem das funções afins e quadráticas), ainda que de forma bastante sucinta, podem estar presentes no estudo de funções. Funções do tipo f(x) =x podem ter gráficos esboçados por meio de uma analise qualitativa da posição do ponto (x, x) em relação à reta y=x, para isso comparando-se x e x nos casos 0 < x < 1 ou x > 1 e usando-se simetria em relação ao eixo x ou em relação à origem para completar o gráfico. Funções polinomiais mais gerais de grau superior a 2 podem ilustrar as dificuldades que se apresentam nos traçados de gráficos, quando não se conhecem os “zeros” da função. Casos em que a função polinomial se decompõe em um produto de funções polinomiais de grau 1 merecem ser trabalhados. Esses casos evidenciam a propriedade notável de que, uma vez se tendo identificado que o numero c é um dos zeros da função polinomial y=p(x), esta pode ser expressa como o produto do fator (x – c) por outro polinômio de grau menor, por meio da divisão de P por (x – c).

É pertinente discutir o alcance do modelo linear na descrição de fenômenos de crescimento, para então introduzir o modelo linear na descrição de fenômenos de crescimento, para então introduzir o modelo de crescimento/decrescimento exponencial (f(x) =a). É interessante discutirem as características desses dois modelos, pois enquanto o primeiro garante um crescimento à taxa constante, o segundo apresenta uma taxa de variação que depende do valor da função em cada instante. Situações reais de crescimento populacional podem bem ilustrar o modelo exponencial. Dentre as aplicações da matemática, tem-se o interessante tópico de matemática financeira como um assunto a ser tratado quando do estudo da função exponencial—juros e correção monetária fazem uso desse modelo. Nos problemas de aplicação em geral, é preciso resolver uma equação exponencial, e isso pede o uso da função inversa – a função logaritmo. O trabalho de resolver equações exponenciais é pertinente quando associado a algum problema de aplicação em outras áreas de conhecimento, como química, biologia, matemática financeira, e etc. Procedimentos de resolução de equações sem que haja um propósito maior devem ser evitados. Não se recomenda neste nível de ensino um estudo exaustivo dos logaritmos.

As progressões aritméticas e geométricas podem ser definidas como, respectivamente, funções afim e exponencial, em que o domínio é o conjunto dos números naturais. Não devem ser tratadas como um tópico independente, em que o aluno não as reconhece como funções já estudadas. Devem-se evitar as exaustivas coletâneas de cálculos que fazem simples uso de fórmulas (“determine a somo...”, “calcule o quinto termo...”).