Matemática: Sistemas Lineares de Três Equações com Termo Ind

Oi, pessoal. Tudo bom? Aqui é o Prof. Thiago na Plataforma Profes, o maior site de aulas particulares do Brasil, e hoje eu vou resolver para vocês um exercício de Matemática do Ensino Médio, Pré-vestibular ou para o ENEM.

É bastante frequente nos principais vestibulares das universidades estaduais, federeais e no ENEM um exercício de Sistemas Lineares, que nada mais são que um conjunto de Equações Lineares. Geralmente, procuram-se as variáveis que satisfaçam todas as equações simultaneamente, ou seja, solucionem o sistema. Contudo, há outro caso! Olha o exemplo:

(UFSCar) Uma loja vende três tipos de lâmpada (x, y e z). Ana comprou 3 lâmpadas tipo x, 7 tipo y e 1 tipo z, pagando R$ 42,10 pela compra. Beto comprou 4 lâmpadas tipo x, 10 tipo y e 1 tipo z, o que totalizou R$ 47,30. Nas condições dadas, a compra de três lâmpadas, sendo uma de cada tipo, custa nessa loja:
a) R$ 30,50.
b) R$ 31,40.
c) R$ 31,70.
d) R$ 32,30.
e) R$ 33,20.

Em exercícios de sistemas lineares, sempre começamos identificando as variáveis com símbolo, tipo e a que se referem. Felizmente, dessa vez o enunciado já trouxe a quantidade e os símbolos das variáveis (x, y e z). Cuidado, porém, pois as variáveis não se tratam de quantidade de lâmpadas, senão do seu preço. São, portanto, reais não-nulas:

O próximo passo é identificar as relações entre as variáveis ou, em outras palavras, as equações lineares.

O texto diz "Ana comprou 3 lâmpadas tipo x, 7 tipo y e 1 tipo z, pagando R$ 42,10". Matematicamente:

Continuando, "Beto comprou 4 lâmpadas tipo x, 10 tipo y e 1 tipo z, o que totalizou R$ 47,30":

E, por fim, pede-se "a compra de três lâmpadas, sendo uma de cada tipo, custa nessa loja":

Em que k é o valor que procuramos e que corresponde a uma das alternativas da questão.

Como resolver esse exercício? Há três equações, três variáveis e um termo independente indefinido. Contudo, não precisamos descobrir o valor individual de x, y e z, pois o que nos interessa é seu somatóio. Procedemos então montando um sistema linear com essas equações, depois sua representação matricial e a solução por escalonamento.

Esse é um sistema de m = 3 equações e n = 3 incógnitas. Supondo que o sistema seja SPD, procedemos.

Vamos representar o sistema linear por uma matriz completa, por simplicidade, e escalonar:

Queremos anular o elemento a₃₁, então fazemos a nova linha L₄ ser o triplo da terceira menos a primeira:

Agora, queremos anular a₂₁, então fazemos L₅ ser a segunda menos o quádruplo da terceira original:

Para anular agora a₃₂, somamos um quarto de L₄ com um sexto de L₅:

E agora conseguimos chegar à seguinte equação de apenas uma incógnita:

Podemos resolver a equação para k:

Portanto, a compra de uma lâmpada de cada tipo custaria x + y + z = R$ 31,70, ou seja, opção C.

OK, pessoal. É isso. Para resolver esse exercício, usamos conceitos de:

- Variáveis, coeficientes e termo independente
- Representação matricial de sistemas lineares
- Solução de sistemas lineares por escalonamento

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