Por: Thiago V. 20 de Junho de 2015
Processamento de Sinais Digitais: Região de Convergência da
Engenharia Orçamento Processamento de Sinais Sinais Sistemas Aplicada Transformada
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Oi, pessoal. Tudo bom? Aqui é o Prof. Thiago no Portal Profes, o maior site de aulas particulares do Brasil, e hoje eu vou resolver para vocês um exercício de Processamento de Sinais Digitais.
A Transformada Z é uma técnica de análise no domínio da frequência que pode ser aplicada para sinais e sistemas não estáveis, isto é, que não apresentam soma absoluta finita. A Região de Convergência (RDC) de um sinal ou sistema atrasado (deslocado no tempo) pode ser obtida da RDC original sem atraso, com as devidas modificações. Vamos ver.
Considere a sequência abaixo, em que n e N são números inteiros e u[n] é a sequência básica degrau unitário no tempo discreto. Verifique qual é a RDC e discuta o resultado em termos da Transformada Z de u[n].
Começamos resgatando a propriedade do atraso ou deslocamento no tempo da Transformada Z, mostrada abaixo:
Aplicando essa propriedade à nossa sequência y[n], chegamos a:
Em que U(z) é a Transformada Z da sequência básica degrau unitário no tempo discreto, que tabelada é igual a:
Com |z| > 1, ou seja, a RDC de U(z) é o complemento no plano Z de um círculo de raio unitário centrado na origem.
A Transformada Z U(z) do degrau unitário u[n] possui um zero em z = 0 e um pólo em z = 1.
Aplicando U(z) em Y(z) e fazendo algumas transformações algébricas, obtemos:
Para discutir o resultado do degrau unitário atrasado em termos do original u[n], modificamos levemente Y(z):
Note então que o atraso de N mantém o zero em z = 0 e o pólo em z = 1, tal que as RDCs são iguais.
De fato, o atraso ou deslocamento no tempo não altera a RDC da Transformada Z original, podendo, contudo, cancelar ou acrescentar um pólo ou um zero em z = 0 (k > 0) ou z = infinito (z < 0). Por exemplo, o atraso simples de uma amostra (k = 1) é muito usado na prática e pode acrescentar um zero antes inexistente em z = 0.
OK, pessoal. É isso. Para resolver esse exercício, usamos conceitos de:
- Sequências básicas (degrau unitário)
- Transformada Z e suas propriedades
- Região de Convergência (RDC)
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