Resolução de alguns limites legais
Por: Thiago V.
23 de Maio de 2018

Resolução de alguns limites legais

Cálculo Limítes

Olá pessoal, tudo bem com vocês?

No artigo de hoje resolveremos alguns limites bem legais. Limites são objetos dentro de uma área da matemática conhecida como "Cálculo". E são esses que iremos resolver:

  1. \lim_{x \to -3} \frac{x^4 - 81}{x^2 - 9} \lim_{x \to -3} \frac{x^4 - 81}{x^2 - 9}
  2. \lim_{x \to \infty} \frac{9x^4 - 3x^3 - 2x - 3}{-3x^4 + 5x + 21} \lim_{x \to \infty} \frac{9x^4 - 3x^3 - 2x - 3}{-3x^4 + 5x + 21}
  3. \lim_{x \to \infty} \frac{9x^4 - 3x^3 - 2x - 3}{-3x^5 + 5x + 21} \lim_{x \to \infty} \frac{9x^4 - 3x^3 - 2x - 3}{-3x^5 + 5x + 21}
  4. \lim_{x \to 0} \frac{-7x + 2}{3x - 5} \cdot \frac{\sin 3x}{4x} \lim_{x \to 0} \frac{-7x + 2}{3x - 5} \cdot \frac{\sin 3x}{4x}
  5. \lim_{x \to 0} \cos \left( \frac{2x^3}{x^2 + 3} \right) \cdot \frac{5}{2x+7} \lim_{x \to 0} \cos \left( \frac{2x^3}{x^2 + 3} \right) \cdot \frac{5}{2x+7}

a) \lim_{x \to -3} \frac{x^4 - 81}{x^2 - 9}

Esse limite inicialmente resulta numa indeterminação do tipo 0/0, pois substituir x = -3 na expressão do limite anula tanto o numerador (o que não seria um problema) quanto o denominador (esse sim é um problema). Então, primeiro precisamos eliminá-la do limite.

A sacada aqui é perceber qeu o numerador é uma diferença de quadrados entre x^2 e 9^2:

x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2

A diferença entre os quadrados de quaisquer dois reais a e b é:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Nesse caso, a = x^2a^2 = (x^2)^2 = x^4b =9 e b^2 = 9^2 = 81

Então, o numerador do limite pode ser fatorado para:

(x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)

Essa expressão permite simplificar o limite e eliminar sua indeterminação:

\lim_{x \to -3} \frac{x^4 - 81}{x^2 - 9} = \lim_{x \to -3} \frac{(x^2 - 9)(x^2 + 9)}{x^2 - 9} = \lim_{x \to -3} x^2 + 9

O novo limite é simples e não possui indeterminação, portanto podemos calculá-lo:

\lim_{x \to -3} x^2 + 9 = (-3)^2 + 9 = 18

b) \lim_{x \to \infty} \frac{9x^4 - 3x^3 - 2x - 3}{-3x^4 + 5x + 21}

Esse limite possui uma indeterminação do tipo \infty/\infty, pois tanto o numerador quanto o numerador crescem indefinidamente quando x tende a infinito.

Para eliminar a indeterminação e calcular o limite, fatoramos o numerador e o denominador, colocando em evidência o termo de maior grau de cada um:

9x^4 - 3x^3 - 2x - 3 = 9x^4 \left(1 + \frac{-3x^3}{9x^4} + \frac{-2x}{9x^4} + \frac{-3}{9x^4} \right)

-3x^4 + 5x + 21 = -3x^4 \left(1 + \frac{5x}{-3x^4} + \frac{21}{-3x^4} \right)

Substituindo os polinômios do numerador e denominador do limite pelas suas formas fatoradas, temos o seguinte novo limite:

\lim_{x \to \infty} \frac{9x^4 - 3x^3 - 2x - 3}{-3x^4 + 5x + 21} = \lim_{x \to \infty} \frac{9x^4 \left(1 + \frac{-3x^3}{9x^4} + \frac{-2x}{9x^4} + \frac{-3}{9x^4} \right)}{-3x^4 \left(1 + \frac{5x}{-3x^4} + \frac{21}{-3x^4} \right)}

O limite é uma operação linear, ou seja, o limite da soma é a soma dos limites. Por isso, cada termo dentro dos parênteses no numerador e denominador tende a zero quando x tende a infinito. O limite pode então ser simplificado para:

\lim_{x \to \infty} \frac{9x^4 \left(1 + \cancelto{0}{\frac{-3x^3}{9x^4}} + \cancelto{0}{\frac{-2x}{9x^4}} + \cancelto{0}{\frac{-3}{9x^4}} \right)}{-3x^4 \left(1 + \cancelto{0}{\frac{5x}{-3x^4}} + \cancelto{0}{\frac{21}{-3x^4}} \right)} = \lim_{x \to \infty} \frac{9x^4}{-3x^4}

O limite ainda contém a mesma indeterminação, mas o termo x^4 no numerador e denominador pode ser cancelado. Portanto:

\lim_{x \to \infty} \frac{9x^4}{-3x^4} = -3

c) \lim_{x \to \infty} \frac{9x^4 - 3x^3 - 2x - 3}{-3x^5 + 5x + 21}

Esse limite é similar ao anterior, com a única diferença de que o termo de maior grau no denominador é agora -3x^5.

Os passos são os mesmos do exemplo anterior. O limite simplificado possui a seguinte forma:

\lim_{x \to \infty} \frac{9x^4}{-3x^5} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3}{x}

Esse limite nada mais é que o limite da função 1/x multiplicada pela constante -3. O limite de 1/x para x tendendo a infinito é zero:

\lim_{x \to \infty} \frac{-3}{x} = -3 \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = -3 \cdot 0 = 0

d) \lim_{x \to 0} \frac{-7x + 2}{3x - 5} \cdot \frac{\sin 3x}{4x}

...

\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1

\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1

...

u \approx 0 \Rightarrow \sin u = u

u \approx 0 \Rightarrow \sin u = u

...

u = 3x

\sin 3x = 3x

...

\lim_{x \to 0} \frac{-7x + 2}{3x - 5} \cdot \frac{\sin 3x}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{-7x + 2}{3x - 5} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x}

\lim_{x \to 0} \frac{-7x + 2}{3x - 5} = \frac{0 \cdot 2}{0 \cdot -5} = - \frac{2}{5}

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}

\lim_{x \to 0} \frac{-7x + 2}{3x - 5} \cdot \frac{\sin 3x}{4x} = - \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = - \frac{3}{10}

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