Processamento de Sinais Digitais: Transformada Z Inversa por

Oi, pessoal. Tudo bom? Aqui é o Prof. Thiago no Portal Profes, o maior site de aulas particulares do Brasil, e hoje eu vou resolver para vocês um exercício de Processamento de Sinais Digitais.

Para voltar do domínio da frequência ao domínio do tempo pelo emprego da Transformada Z Inversa, há três principais métodos: aplicação direta da definição, método da inspeção de uma série de potências em z^-1 ou z e o método da decomposição em frações parciais. Os dois últimos são mais fáceis de resolver analiticamente. Vamos ao exemplo.

Seja X(z), com RDC |z| > 1/2, a Transformada Z de x[n]. Obtenha x[n] com o método mais conveniente.

Poderíamos aplicar diretamente a definição da Transformada Z Inversa, dada pela seguinte equação:

A definição relaciona a posição n de uma amostra com uma integral de linha fechada no plano z, avaliando, para cada posição z no plano, o valor do produto entre a transformada X(z) e uma frequência complexa z^n-1. O valor da amostra x[n] na posição n é então o somatório normalizado da contribuição de todas as frequências da integral.

Complexo, certo? Uma forma mais simples é partir para expansão em série de potências. A expansão em série de potências de uma Transformada Z é um rearranjo da transformada em um modelo padronizado, dado pela expressão abaixo:

Se a RDC for do tipo |z| > a, ou seja, o complemento de um círculo de raio a centrado na origem do plano z, então expressamos X(z) como uma série de potências em z^-1 ou 1/z. Se a RDC for do tipo |z| < a, ou seja, um círculo de raio a centrado na origem do plano z, então expressamos X(z) como uma série de potências em z.

Vamos reescrever a transformada X(z) do enunciado conforme o modelo acima. Primeiro, notamos que a RDC |z| > 1/2 é do primeiro tipo (um complemento de círculo), então queremos expressar X(z) em uma série de potências de z^-1. Comparamos os dois lados da equação e por semelhança obtemos os coeficientes a₁, ..., a_N e b₀, b₁, ..., b_M:

E chegamos a:

Achados os coeficientes que representam a transformada X(z) em uma série de potências, usamos uma ferramenta das Séries de Laurent, para encontrar as amostras x[n] a partir dos coeficientes encontrados. A expressão que relaciona x[n], a₀, a₁, ..., a_N, b₀, b₁, ..., b_M é a seguinte:

OK, já temos todas as ferramentas e variáveis necessárias para calcular x[n]. Vamos aos somatórios:

Encontramos x[0] = 1, agora partimos para x[1]:

Encontramos x[1] = 1/2, agora partimos para x[2]:

Encontramos x[2] = 1/4. Vamos agora calcular x[3]:

Por indução, encontramos todos os próximos termos:

A sequência x[n] que procuramos é então uma exponencial real decrescente e absolutamente somável:

A sequência exponencial real é uma das sequências básicas que aprendemos. Se lembrarmos que, quando o valor elevado a n estiver entre zero e um, a sequência é decrescente e absolutamente somável para n >= 0 (o que forçamos multiplicando-a por u[n]), então há a Transformada de Fourier dessa sequência.

Isso é comprovado pelo fato de que a RDC de X(z), com |z| > 1/2, contém o círculo unitário onde |z| = 1 e sobre o qual a Transformada de Fourier está definida.

Também podemos comprovar o nosso resultado olhando em uma tabela de pares de Transformada Z:

E sua anti-transformada:

Com |z| > a. No nosso caso, a = 1/2. Se a > 1, x[n] seria crescente, não absolutamente somável ou instável, o limite do somatório não existiria e, portanto, não haveria Transformada de Fourier. De fato, a RDC de X(z) se a > 1 não conteria o círculo unitário em que |z| = 1, corroborando o resultado.

OK, pessoal. É isso. Para resolver esse exercício, usamos conceitos de:

- Sequências básicas (exponencial real decrescente unilateral)
- Transformada Z inversa por expansão em série de potências

Ficou alguma dúvida? Podemos trabalhar esses e outros conceitos em uma aula online.

Quer agendar uma aula online aqui no Portal Profes? Solicite um orçamento agora mesmo.

Link para este post: http://bit.ly/1LrzFnO