Oi, pessoal. Tudo bom? Aqui é o Prof. Thiago no Portal Profes, o maior site de aulas particulares do Brasil, e hoje eu vou resolver para vocês um exercício de Processamento de Sinais Digitais.
Para voltar do domínio da frequência ao domínio do tempo pelo emprego da Transformada Z Inversa, há três principais métodos: aplicação direta da definição, método da inspeção de uma série de potências em z-1 ou z e o método da decomposição em frações parciais. Os dois últimos são mais fáceis de resolver analiticamente. Vamos ao exemplo.
Seja X(z), com RDC |z| > 1/2, a Transformada Z de x[n]. Obtenha x[n] com o método mais conveniente.
Poderíamos aplicar diretamente a definição da Transformada Z Inversa, dada pela seguinte equação:
A definição relaciona a posição n de uma amostra com uma integral de linha fechada no plano z, avaliando, para cada posição z no plano, o valor do produto entre a transformada X(z) e uma frequência complexa zn-1. O valor da amostra x[n] na posição n é então o somatório normalizado da contribuição de todas as frequências da integral.
Complexo, certo? Uma forma mais simples é partir para expansão em série de potências. A expansão em série de potências de uma Transformada Z é um rearranjo da transformada em um modelo padronizado, dado pela expressão abaixo:
Se a RDC for do tipo |z| > a, ou seja, o complemento de um círculo de raio a centrado na origem do plano z, então expressamos X(z) como uma série de potências em z-1 ou 1/z. Se a RDC for do tipo |z| < a, ou seja, um círculo de raio a centrado na origem do plano z, então expressamos X(z) como uma série de potências em z.
Vamos reescrever a transformada X(z) do enunciado conforme o modelo acima. Primeiro, notamos que a RDC |z| > 1/2 é do primeiro tipo (um complemento de círculo), então queremos expressar X(z) em uma série de potências de z-1. Comparamos os dois lados da equação e por semelhança obtemos os coeficientes a1, ..., aN e b0, b1, ..., bM:
E chegamos a:
Achados os coeficientes que representam a transformada X(z) em uma série de potências, usamos uma ferramenta das Séries de Laurent, para encontrar as amostras x[n] a partir dos coeficientes encontrados. A expressão que relaciona x[n], a0, a1, ..., aN, b0, b1, ..., bM é a seguinte:
OK, já temos todas as ferramentas e variáveis necessárias para calcular x[n]. Vamos aos somatórios:
Encontramos x[0] = 1, agora partimos para x[1]:
Encontramos x[1] = 1/2, agora partimos para x[2]:
Encontramos x[2] = 1/4. Vamos agora calcular x[3]:
Por indução, encontramos todos os próximos termos:
A sequência x[n] que procuramos é então uma exponencial real decrescente e absolutamente somável:
A sequência exponencial real é uma das sequências básicas que aprendemos. Se lembrarmos que, quando o valor elevado a n estiver entre zero e um, a sequência é decrescente e absolutamente somável para n >= 0 (o que forçamos multiplicando-a por u[n]), então há a Transformada de Fourier dessa sequência.
Isso é comprovado pelo fato de que a RDC de X(z), com |z| > 1/2, contém o círculo unitário onde |z| = 1 e sobre o qual a Transformada de Fourier está definida.
Também podemos comprovar o nosso resultado olhando em uma tabela de pares de Transformada Z:
E sua anti-transformada:
Com |z| > a. No nosso caso, a = 1/2. Se a > 1, x[n] seria crescente, não absolutamente somável ou instável, o limite do somatório não existiria e, portanto, não haveria Transformada de Fourier. De fato, a RDC de X(z) se a > 1 não conteria o círculo unitário em que |z| = 1, corroborando o resultado.
OK, pessoal. É isso. Para resolver esse exercício, usamos conceitos de:
- Sequências básicas (exponencial real decrescente unilateral)
- Transformada Z inversa por expansão em série de potências
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