Algebra - base ortogonal

Question

Seja w=(1,-2,-1,3) um vetor em R4. Ache uma base ortogonal para w?. (sem ser por Gram-Schmidt). Resposta: {(0,0,3,1),(0,3,&minus;3,1),(2,10,&minus;9,3)}

José N. · Answer

Vou interpretar (me baseando na resposta). A pergunta deve ser sobre o complemento ortogonal do espaço unidimensional gerado por w Vou chamar de S esse complemento ortogonal, assim S = { x em R? |  = 0 }. Como obter uma base de S ? Assim: seja x no complementar ortogonal, x = (a,b,c,d), então  = a - 2b - c + 3d = 0 , donde a = 2b + c - 3d  Voltando, x = (a,b,c,d) = (2b + c - 3d,b,c,d) = b(2,1,0,0) + c(1,0,1,0) + d(-3,0,0,1)  Desse modo, uma base para S é dada por B = { v1 = (2,1,0,0), v2 = (1,0,1,0), v3 = (-3,0,0,1) }  É uma base ortogonal ? Não, mas por exemplo, podemos fazer b1 = v3 + 3v2 = (0,0,3,1), que é um dos vetores da resposta. Fazendo combinações lineares desse tipo, chegamos numa base ortogonal. Mas em termos técnicos, o algoritmo de Gram-Schmidt é a melhor opção.

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