Calc 3

Question

O comprimento da curva x=r(t-sent) e y=r(1-cost) considerando t variando de 0 a 2pi &eacute;?4r8r10r6r2r

Felipe G. · Accepted Answer

O comprimento de uma curva dada por x(t) e y(t) é dado pela integral no intervalo t de sqrt[x'(t)^2 + y'(t)^2]. Onde x'(t) e y'(t) são as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t. Nessa caso então: x'(t)=r(1-cost) y'(t)=tsent E o comprimento L: L=int sqrt{[r(1-cost)]^2 + [rsent]^2} L=r int sqrt{2-2cost} L=8r  Alternativa b.

David C. · Answer

Considere x(t) = r(t - sen(t)), y(t) = r(1 - cos(t) ), com 0 <= t <= 2pi Derivando: x'(t)= r (1 - cos(t)) => (x'(t))^2 = r^2 (1 - cos(t))^2 = r^2 ( 1 - 2cos(t) + cos^2(t)) y'(t)= r (sen(t)) => (y'(t))^2 = r^2 sen^2(t) Logo (x'(t))^2 + (y'(t))^2 = r^2(1-2cos(t) + cos^2(t)) + r^2 sen^2(t) = r^2 (1 - 2cos(t) + sen^2(t) + cos^2(t)) (x'(t))^2 + (y'(t))^2 = r^2 (2 - 2cos(t)) O comprimento da curva é Integral definida desde 0 até 2pi [ raiz(r^2 (2 - 2cos(t) ) ) ]dt r * Integral definida desde 0 até 2pi [ raiz(2 - 2(1 - 2sen^2 (t/2) ) ) ]dt r * Integral definida desde 0 até 2pi [ raiz(4 sen^2 (t/2) ) ]dt 2r * Integral definida desde 0 até 2pi [ sen (t/2) ]dt 2r * (- 2 cos(t/2) avaliado desde 0 até 2pi ) 4r * (- cos(t/2) avaliado desde 0 até 2pi ) 4r * (1 + 1) = 8r

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