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Calcule a integral

Cálculo Cálculo IV

Calcule a integral de linha Integral C xy ds, sobre a curva y=x^2/2 do ponto (0,0) ao ponto (1,  ½).

 

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Hermano perguntou há 4 anos

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Professor Lucas G.
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A curva é \gamma : (0, 1) \to \mathbb{R}^2 dada por \gamma(t) = (t, t^2/2), \ \forall t \in (0, 1).

Por definição de integral de linha, esta é igual a 

\int^1_0 t \cdot (t^2/2) \| \gamma'(t)\|\, dt = \int^1_0 \frac{t^3}{2} \sqrt{1+t^2}\, dt.

Note que 

\frac{d}{dt}\left( \frac{1}{3}(1+t^2)^{3/2} \right) = t \sqrt{1+t^2},

que pode ser usado na última integral para aplicar integração por partes, nos dando 

\left( \frac{t^3}{2} \cdot \frac{1}{3} \left(1+t^2\right)^{3/2} \right) \Bigg |^1_{t=0} - \int^1_0 \frac{3t^2}{2} \cdot \frac{1}{3}(1+t^2)^{3/2}\, dt.

Agora, a última integral você resolve investigando a derivada de (1+t^2)^{5/2}.

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