Melhor resposta
Essa foi a melhor resposta,
escolhida pelo autor da dúvida
Olá Sampaio.
a) Lembre que lim sen(x) / x = 1 limite fundamental
x->0
sen(ax)/bx= sen(ax)/(ax.b/a) = a/b.sen(ax)/(ax). Seja ax=u
Mas lim sen(u) / u = 1, limite fundamental
u->0 pois quando x->0 u->0
Então lim sen(ax)/bx = a/b
x->0
b)
Dividindo-se os dois lados por x, pois x<>0
sen(3x)/sen(5x)= [sen(3x)/x]/[sen(5x)/x]
Mas,
lim sen(3x)/x = 3 pois Se 3x=u sen(3x)/(3x/3) = 3.sen(u)/u
x->0
lim sen(5x)/x = 5 pois Se 5x=u sen(5x)/(5x/5) = 5.sen(u)/u
x->0
Então Lim [sen(3x)/x]/[sen(5x)/x] = 3/5
x->0
c)
Se for cos x - cos a = -2[sen (x + a)/2 ][sen (x - a)/2 ] e que
lim sen(x) / x = 1, limite fundamental
x->0
Dai tem-se:
lim [ (cos x - cos a) / (x - a) ] =
x->a
lim [ (-2[sen (x + a)/2 ][sen (x - a)/2 ] / (x - a) ] =
x->a
lim [ ( - [sen (x + a)/2 ] . lim [sen (x - a)/2 ] / [(x - a)/2] ].
x->a
Agora,
lim [sen (x - a)/2 ] / [(x - a)/2] = 1, pois é o limite fundamental.
x->a.
Assim,
lim [ ( - [sen (x + a)/2 ] . lim [sen (x - a)/2 ] / [(x - a)/2] ] =
x->a
lim [ ( - [sen (x + a)/2 ] . 1 =
x->a
lim [ ( - [sen (x + a)/2 ] =
x->a
lim [ ( - [sen (x + a)/2 ] =
x->a
= - sen (a + a)/2 = -sen (2a)/2 = - sen (a), como queríamos!!!
Bons estudos!!!