Calculo 2 equação paramétricas

Professor David C.

Identidade verificada

• CPF verificado
• E-mail verificado

Respondeu há 4 anos

Determine as equações paramétricas da reta tangente no ponto (-2,2,4) à curva de intersecção da superfície z=2x²-y² com plano z=4. Dúvida nessa questão.

Solução.

Calculamos a curva de intersecção da superfície z=2x²-y² com plano z=4:

4 = 2x² - y²

1 = x²/2 - y²/4

Obtemos uma hipérbole com centro na origem.

Calculamos a pendiente m da reta tangente, derivando implicitamente a equação da hipérbole anterior:

0 = -x - (ym)/2

m = -(2x)/(y)

Substituindo o ponto (-2,2)

m = -2(-2)/2 = 2

Logo a equação geral da reta tangente é:

y - 2 = m (x +2)

y - 2 = 2 (x + 2)

(y - 2)/2 = (x +2)/1 = t

Portanto as equações paramétricas da reta tangente são:

x = t - 2

y = 2t + 2

z = 4

onde t é um número real qualquera.

Para mais informação:
asesor.matematica.1990@gmail.com
Whatsapp: (11) 994414817

Millena A.

Respondeu há 1 mês

Bem, sabemos que o vetor tangente é ortogonal ao vetor gradiente. Por isso, calculamos os vetores gradientes de cada função (z=2x²-y²) e (z=4). 

Os gradientes (derivadas parciais) são respectivamente (4x,-2y,-1) e (0,0,-1). Para achar o vetor tangente, basta calcular o produto vetorial entre eles. 

O resultado do produto vetorial será 4i-8j+0k. Logo:

x=-1+4t

y=2-8t

z=4