Como encontrar uma função não nula h para a qual F(x,y)=h(x).[x.siny+y.cosy]i + h(x).[x.cosy-y.siny]j seja conservativo?

Sejam M e N duas funções com derivadas parciais. O campo vetorial F(x,y) = Mi + Nj é conservativo somente se: dN/dx = dM/dy (em derivadas parciais) ... (1) Para esse problema: M(x,y) = h(x)[xsiny+ycosy] N(x,y) = h(x)[xcosy-ysiny] Calculamos as derivadas: dN/dx = h(x).cosy + h'(x)[xcosy-ysiny] dM/dy = h(x)[xcosy-ysiny+cosy] Aplicamos o critério (1): h(x).cosy + h'(x)[xcosy-ysiny] = h(x)[xcosy-ysiny+cosy] h'(x)[xcosy-ysiny] = h(x)[xcosy-ysiny+cosy-cosy] = h(x)[xcosy-ysiny] Assim, simplesmente fica: h'(x) = h(x) dh/dx = h(x) (em derivada total) dh/h = dx fazendo a integração: ln[h(x)] = x Finalmente, obtemos: h(x) = e^x Em relação ao vetor gradiente, uma função vetorial F é conservativo se e somente se é a gradiente de outra função V: F = grad(V), onde V é chamado ''função potencial''. h(x) é uma função de uma variável, não pode ser uma gradiente porque não é uma função vetorial, senão escalar. Além disso, não é possível obter a gradiente da função F, a gradiente somente é aplicável às funções escalares e F é vetorial.

Olá Irís.

Um campo F é conservativo se o seu rotacional é igual ao vetor nulo, veja notação em [1].

F = [F1, F2, F3] pertence ao R^3. Na sua função F3 = 0. Mas manterei para ter o caso função. Os números 1, 2 e 3 representam as coordenadas x, y e z respectivamente. Com os números é mais fácil memorizar o resultado
d1, d2 e d3 são as derivadas parciais em x y e z, del()/del(x) etc. q1, q2 e q3 são as coordenadas x y z.

rot(F) = +q1 * ( d2F3 - d3F2) + q2 * ( d3F1 - d1F3) + q3 * ( d1F2 - d2F1) = [ 0 , 0 , 0]

Toda derivada d3 é nula pois F não depende de "3", z. F3 é nulo.
Então a condição para ser conservativo é:
d1F2 = d2F1

Repare que isso entra no que já deve ter visto sobre diferenciais exatos.

Por notação Cx = cos(x), Sx = sen(x), idem para y.
h = h(x)

Desenvolvendo:

d1F2 = del(F2)/del(x) = del(F1)/del(y) = d2F1

del(F2)/del(x) = (dh/dx)*(x * Cy - y* Sy) + h*Cy

del(F1)/del(y) = h * (x*Cy + Cy - y*Sy)

(dh/dx)*(x * Cy - y* Sy) + h*Cy = h *Cy + h * (x* Cy - y*Sy) ; % h *Cy simplifca

(dh/dx)*(x * Cy - y* Sy) = h * (x* Cy - y*Sy) ; % (x* Cy - y*Sy) simplifica

(dh/dx) = h ; EDO de primeira ordem h(x) = c * exp(s*x), c pertence a R constante.

equação característica: s - 1 = 0 => s = 1

portanto h(x) = c * exp(x)


[1] https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_conservativo  - Vide: Campos vetoriais irrotacionais