Dimensões
x: comprimento
y: largura
z: altura
V: volume
V = 4
V = x.y.z --> x.y.z = 4 --> z = 4/(x.y) (1)
A: área da superfície
A(x,y,z) = x.y + 2.y.z + 2.x.z (2)
Usando (1) em (2) tem-se:
f(x,y) = xy + 8/x + 8/y
As derivadas parciais são:
fx(x,y) = y - 8/x^2
fy(x,y) = x - 8/y^2
Determinando os valores de fx(x,y) = 0 e de fy(x,y) = 0 obtemos:
y - 8/x^2 = 0 --> y = 8/x^2 (3)
x - 8/y^2 = 0 --> x = 8/y^2 --> x.y^2 = 8 (4)
Substituindo (3) em (4) tem-se:
x.(8/x^2)^2 = 8 --> 64/x^3 = 8 --> x^3 = 64/8 --> x^3 = 8 --> x = 2
Assim y = 8/2^2 = 2.
Determinamos que as derivadas parciais são simultaneamente zero quando x = 2 e y =2.
Para aplicar o teste da derivada segunda, calculamos
fxx(x,y) = 16/x^3, fxy(x,y) = 1, fyy(x,y) = 16/y^3, fyx(x,y) = 1
No ponto (2,2) tem-se:
fxx(2,2) = 2, fxy(2,2) = 1, fyy(2,2) = 2, fyx(2,2) = 1
Sendo o hessiano definido por H(x,y) = fxx(x,y) * fyy(x,y) - fxy(x,y) * fyx(x,y), temos que H(2,2) = 3
Pelo teste da derivada segunda para funções de duas variáveis, como H(2,2) > 0 e fxx(2,2) > 0 então
Como H(2,2) é positivo, e fxx(2,2) também é positivo, então f(x,y) tem mínimo relativo em (2,2).
Logo, z = 4/(2.2) = 1, e A(2,2,1) = 12
Dimensões:
comprimento = 2 metros
largura = 2 metros
altura = 1 metro
Bruno, o que achou da explicação ?
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