Derivada y^x

Se vc quer a deriva com relação a y, e fazer como meu colega Alexandre falou. Porém, se vc quer derivar conçm respeito a x, tem que tirar logaritmo, pe depois derivar.

Oi Daniel, tudo bom ? Cuidado com a resposta do professor Alexandre. A explicação ficou simples demais e pode te levar a confundir as coisas. Antes de derivar, você precisa se preocupar com três coisas na sua equação: 1) Quem é sua variável ? x ou y ? 2) Quem é constante ? Em geral, uma vez determinada sua variável, as demais são todas constantes. 3) Vai derivar sua equação em relação a qual variável ? Supondo que a variável seja x, então y será constante. Então temos um típico caso de ( número) elevado a ( variável ), isto é, caso de uma exponenciação. Para solucionar isto, iremos portanto, derivar em relação a x. Pela regra da cadeia: g = y^x dg/dx = d/dx (y^x) = y^x d/dx (x) = y^x Supondo que a variável seja y, então x será constante. Então temos um típico caso de ( variável) elevado a ( número ), isto é, caso de um polinômio. Para solucionar isto, podemos derivar em relação a x ou derivar implicitamente em relação a y. Irei solucionar o mais simples, que é derivar em relação a x. g = y^x dg/dx = d/dx (y^x) = x * y^(x-1)* dy/dx = x * y^(x-1)* y' =

 

Boa tarde Daniel.
Nesse tipo de exercício você tem duas maneiras de derivar.

 

1. Usando a definição:

                                   a^b=exp(b ln a).

Onde exp é a função exponêncial e ln a função logaritmo natural. Assim se f(x)=y^x temos:

f(x)=y^x=exp(xlny), derivando segue que

f ' (x)= exp(x lny) (x ln y)'=exp(x lny)( lny +x y'/y)

 

         = y^x(lny +xy'/y)

Portanto
                              f ' (x)= y^x(lny +xy'/y).

2. Por derivação logarítmica:

f(x)=y^x então ln(f(x))=x lny, derivando

f'(x)/f(x)=(x ln )'= lny + x y'/y

Daqui

f'(x)=f(x)[lny + xy'/y]= y^x[lny +xy'/y].

 

Abraços!!!