Derivadasss

Professor Daniel N.

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Respondeu há 6 anos

Definição de derivada de uma função no ponto x = a: f'(a) = lim x -> a [f(x)-f(a)]/[x-a], se o limite existir.

(a) Creio que na questão (a) o ponto é (x, y) = (4,3), pois se f(x)= √(1+2x) então f(4)= √(1+2*4)= √9=3. Então (4,1) não pertence à f e não faz sentido falar de reta tangente nesse ponto. Em (4,3) faz. Assumindo isso:
f'(4)=lim x->4 [f(x)-f(4)]/[x-4]=lim x->4 [√(1+2x)-3]/(x-4).

Note que neste caso temos uma indeterminação 0/0. Para conseguir prosseguir, a estratégia mais adequada é tentar fatorar e rearranjar a expressão (se ainda assim não encontrarmos um caminho claro, e se foi passado como conteúdo pode se aplicar a regra de L'Hôpital). Note que se multiplicarmos √(1+2x)-3 pelo conjugado √(1+2x)+3, obtemos (1+2x)-9=2x-8= 2(x-4). Logo eliminaremos a indeterminação. Assim: [√(1+2x)-3]/(x-4) = (2x-8)/[(x-4)(√(1+2x)+3)]= 2/[√(1+2x)+3].
Assim: f'(4)=lim x->4 2/[√(1+2x)+3]=2/[√(9)+3]=2/(3+3)=1/3. Como o limite existe, a derivada é 1/3 que é o coeficiente da reta tangente (chamemos de m). Disto, utilizando o ponto (x0, y0) = (4,3) e a equação da reta, y-y0=m(x-x0) --> y-3=(x-4)/3 <--> y =(x-4)/3+3 <--> y = x/3+5/3.

(b) Da definição de derivada, f'(3) = lim x->3 [f(x)-f(3)]/[x-3] = lim x->3 [(x-1)/(x-2)-2]/[x-3]=lim x->3 (x-1-2x+4)/[(x-2)(x-3)]=lim x->3 (3-x)/[(x-2)(x-3)] . Note que dos conceitos de limite de função, lim x->a f(x) ≠ f(a) e por isso podemos fazer a simplificação. Assim: f'(3)=lim x->3 1/(2-x)=1/(2-3)=-1. Logo, m=-1 e y-2=-1(x-3) <--> y = -x+5.