Estou com dificuldade em conseguir resolver um exercício que lede a linearização de algumas funções e p mostrar que ela é diferenciável em certos pontos, a linearização eu sei fazer, mas tenho dúvidas em como mostrar se é diferenciável: Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. a.f(x,y)=x?y ponto(1,4) b.f(x,y)=(e^x).cos(xy) ponyo (0,0) c.f(x,y)=arctan(x) 2y ponto (1,0) d.f(x,y)=y.ln(x) ponto (2,1)
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Em cálculo multivariável, dizemos que uma função f de duas variáveis reais a valores reais é diferenciável em um ponto P = (a, b) de seu domínio ( P pertencendo a algum aberto contido no domínio de f ) se, e somente se,
Por exemplo, no caso do item b (em que o domínio da função é todo o IR²) este limite é:
pois o limite das frações com raiz quadrada no denominador são nulos e os limites das outras duas frações são 0 (a do cosseno) e 1/2.
Mais adiante no curso são vistos resultados que permitem concluir diferenciabilidade mais rapidamente. Por exemplo, se f tem suas derivadas parciais f_x e f_y contínuas no ponto P = (a, b), então f é diferenciável em (a, b). No caso desse item as derivadas parciais são contínuas em todo o IR², portanto esse resultado se aplica.
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