Duvida teorema de green

Question

Usando o teorema de green para calcular a integral curvilinea >>>> (x²-y²)dx+(2y-x)dy onde C é o contorno da região no primeiro quadrante limitado pelos graficos y=x² e y=x³ temos? -11/420  11/420 22/131 -22/131 13/280

Miguel C. · Answer

De acordo com o problema a curva C é fechada, simples e orientada positivamente, assim a aplicação do Teorema de Green obtém a integral dupla de 2y-1 sobre a região delimitada pela curva C, ou seja, 0<= x <= 1 e x^3 <= y <= x^2. A resolução dessa integral dupla obtém o resultado -11/420.

David C. · Answer

A região limitada pelo gráfico de y=x² e y=x³ fica no intervalo [0,1]. Escrevemos a região C da foma: 0<= x <= 1, x³ <= y <= x² Note que: P(x,y) = (x²-y²) => A derivada parcial de P respeito y é -2y Q(x,y) = (2y-x) => A derivada parcial de Q respeito x é -1 O teorema de green afirma A integral do contorno de C de (x²-y²)dx+(2y-x)dy, é igual a integral da região C de (-1) - (-2y) dA , ou seja a integral da região C de (2y-1) dA A resposta é Integral definida desde 0 até 1 [Integral definida desde x³ até x² de (2y-1) dy] dx Integral definida desde 0 até 1 [y² - y avaliado desde x³ até x² ] dx Integral definida desde 0 até 1 [-x^6 + x^4 + x^3 - x^2 ] dx -x^7/7 + x^5/5 + x^4/4 - x^3/3 avaliado desde 0 até 1 -1/7 + 1/5 + 1/4 - 1/3 = (-60 + 84 + 105 - 140 )/420 = - 11 /420

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