Encontre a derivada dírecional de f(x, y) = 2y.In(x2 + y2) no ponto P(-1, 4) e na díreção de P a Q(2, 5).

Question

Santiago C. · Answer

Para calcular a derivada direcional devemos multiplicar o vetor gradiente da função no ponto requerido pelo vetor unitário direcional u. Du(f) = grad(f)(P).u ...(1)  Nesse caso, o vetor direcional é: v = (2-(-1),5-4) = (3,1) dividendo pelo módulo:  u = v/|v| = (3,1)/sqrt(10) ...(2)  Calculamos a gradiente: grad(f) = (df/dx,df/dy) .....(as derivadas são parciais) df(x,y)/dx = 2y.(2x)/(x²+y²) = 4xy/(x²+y²)  df(x,y)/dy = 2y.(2y)/(x²+y²)  + 2.Ln(x²+y²) = 4y²/(x²+y²) + 2Ln(x²+y²)   Substituímos as coordenadas do ponto P = (-1,4) e obtemos a gradiente de f no ponto P: grad(f)(P) = (-16/17, 64/17+2Ln(17))  Assim, só resta multiplicar o vetor gradiente no ponto P pelo vetor unitário u mostrado em (2): Du(f) = grad(f)(P).u = (-16/17, 64/17+2Ln(17)). (3,1)/sqrt(10) = [1/sqrt(10)]*(16/17 + 2Ln17).

Encontre a derivada dírecional de f(x, y) = 2y.In(x2 + y2) no ponto P(-1, 4) e na díreção de P a Q(2, 5).

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