Equivalência entre normas

Professora Rayza A.

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Respondeu há 3 meses

Para mostrar a equivalência entre duas normas em um conjunto $X$ pertencente a Rn, você precisa demonstrar duas direções:

1. Se $X$ é limitado em relação à norma ?????1?????1?, então $X$ é limitado em relação à norma ?????2?????2?:

   Suponha que $X$ seja limitado em relação à norma ?????1?????1?. Isso significa que existe um número real positivo $M$ tal que ??x??1??M para todo $x$ em $X$. Agora, você precisa mostrar que $X$ é limitado em relação à norma ?????2?????2?. Para isso, pode ser útil usar a desigualdade triangular e explorar a relação entre as duas normas.

   Considere ??x??2? e tente expressá-lo em termos de ??x??1? e, possivelmente, constantes multiplicativas. Isso ajudará a estabelecer a limitação em relação à norma ?????2?????2?.

2. Se $X$ é limitado em relação à norma ?????2?????2?, então $X$ é limitado em relação à norma ?????1?????1?:

   Agora, suponha que $X$ seja limitado em relação à norma ?????2?????2?, o que significa que existe um número real positivo $N$ tal que ??x??2??N para todo $x$ em $X$. Da mesma forma, tente expressar ??x??1? em termos de??x??2? e constantes multiplicativas. Isso ajudará a estabelecer a limitação em relação à norma ?????1?????1?.

Essas demonstrações envolvem manipulações algébricas e propriedades das normas que você está usando. As propriedades fundamentais das normas, como a desigualdade triangular, serão úteis nesses raciocínios. Este é um processo geral; os detalhes específicos dependerão das normas exatas e das propriedades que estão sendo consideradas.