Estratégia para encontrar ponto de intersecção em curva parametrizada

Question

Bom, estou com algumas questões para resolver, dentro de curvas parametrizadas (cap 10 stewart). Que é quando uma curva dada por x=f(t) e y=g(t) intercepta a si mesma em determinado ponto do intervalo de t. Os problemas pedem a coordenada retangular do ponto de interseção e as retas tangentes à curva neste ponto.  Como proceder? Qual o significado de dy/dt e dx/dt ?

Fernando Z. · Accepted Answer

Ol&aacute; Grabriel:Como material de apoio veja os links [1,2]. Ambos cont&eacute;m explica&ccedil;&otilde;es detalhadas e imagens para auxiliar no entendimento.Para saber se a curva se auto-intercepta, devem haver par&acirc;metros t1 e t2, com t1 < t2, tais que x(t1) = x(t2) e y(t1) = y(t2).Observe que isso mostra que para o valores distintos do par&acirc;metro as coordenadas x(t) e y(t) se repetem.H&aacute; exemplos num&eacute;ricos em [1,2]Sobre o significado de dy/dt e dx/dt.dx/dt mede a varia&ccedil;&atilde;o da curva ao longo do eixo x em rela&ccedil;&atilde;o ao par&acirc;metro t. Analogamente para y.Repare que se dx/dt = 0 para algum t = t0, ent&atilde;o a varia&ccedil;&atilde;o ao longo de x quanto t = t0 &eacute; nula, logo a reta tangente &agrave; curva ser&aacute; paralela ao eixo y (reta vertical).Analogamente, se dy/dt = 0 para algum t = t0, ..., a reta tangente &agrave; curva ser&aacute; paralela ao eixo x (reta horizontal).=== Links[1] http://www.mat.ufba.br/mat042/aula15/aula15.htm [2] https://twiki.ufba.br/twiki/pub/CalculoB/NotasDeAula/parametricas.pdf

Sergio F. · Answer

dy/dt é a derivada de y em relaçao a t, e o dx/dt é a derivada de x em relaçao a t

Douglas S. · Answer

Perfeita a resposta do Professor Fernando H. G. Zucatelli.  Note também que o vetor velocidade ( x'(t) , y'(t) )  - mudando a notação da derivada - representa a ''tangente''.  Logo, usando a mesma notação (x(t1),y(t1))=(x(t2),y(t2)) para o ponto de interseção, se os vetores velocidade (x'(t1), y'(t1))  e (x'(t2), y'(t2)) forem paralelos, então as duas curvas se tangenciam.  Se os vetores velocidades forem ortogonais, então a curva se corta de forma ''transversal'' - formando um ângulo de 90 graus. Enfim, o ângulo dos vetores velocidade nos diz qual é o ''ângulo de corte'' da curva sobre si mesma.    Abraço, bons estudos!

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