Exercício cálculo 1

Para resolver este problema, precisamos considerar as posições relativas dos dois navios com o passar do tempo e depois aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar a distância entre eles em qualquer momento. Estamos procurando o ponto no qual essa distância é a menor. Defina as posições do Navio A e do Navio B: Às 15h: O Navio A está a 130 km a leste do Navio B (portanto, podemos considerar o Navio B no ponto de origem (0,0) do nosso sistema de coordenadas, e o Navio A em (130,0)). Movimentos dos navios: O Navio A está se movendo para oeste a 20 km/h. O Navio B está se movendo para sul a 30 km/h. Vamos deixar "t" ser o tempo em horas após as 15h. Posições com base no movimento: Como o Navio A está se movendo para oeste, sua posição para leste diminuirá com o tempo: posição de A = (130 - 20t, 0). O Navio B está se movendo para sul, então sua posição para sul aumenta à medida que o tempo passa: posição de B = (0, -30t). Agora, encontramos a distância entre o Navio A e o Navio B no tempo "t" usando o teorema de Pitágoras. Essa distância é uma função do tempo, e queremos encontrar quando essa função atinge seu mínimo. Distância^2(t) = (130 - 20t)^2 + (0 - (-30t))^2 = (130 - 20t)^2 + (30t)^2 = 400t^2 - 5200t + 16900 + 900t^2 = 1300t^2 - 5200t + 16900 Para encontrar a distância mínima, encontraremos o mínimo desta função quadrática. A fórmula para o tempo em que uma função quadrática ax^2 + bx + c atinge seu mínimo/máximo é t = -b/(2a). Aqui, a = 1300, b = -5200. t = -(-5200) / (2 * 1300) = 5200 / 2600 = 2 horas. Portanto, a distância entre os navios é mínima 2 horas após as 15h, ou seja, às 17h. Agora, encontraremos a distância mínima substituindo t = 2 na função de distância. Distância Mínima^2 = 1300*(2)^2 - 5200*(2) + 16900 = 1300*4 - 10400 + 16900 = 5200 - 10400 + 16900 = 12500 Distância Mínima = raiz(12500) = 50 * raiz de 5 km. A distância mínima que calculamos foi 50 * raiz 5 km. Para encontrar o valor exato, precisamos calcular o valor numérico de raiz de 5 e multiplicá-lo por 50. Raiz de 5 é aproximadamente igual a 2,236. Então, 50 * raiz de 5 = 50 * 2,236 = 111,8 km. Portanto, a distância mínima entre os dois navios é de aproximadamente 111,8 km.

A distância mínima ocorrerá às 17h e será 108km. A solução é encontrada basicamente criando uma função "F" pelo tempo "t" que represente a distância entre os dois navios. Essa função será encontrada calculando a hipotenusa do triângulo retângulo formato pelos trajetos dos navios. Após ter a função "F", basta derivar e igualar a zero para achar o ponto de mínimo desta função. Após isso você achará em quanto tempo os navios estarão a uma distância mínima (2 horas). Com esse valor, você substitui na função original e depois acha a raiz desta resposta.

Olá, Jessica. Esse problema é bem interessante porque na verdade seria possível resolvê-lo sem cálculo! Se você analisar a situação no referencial de um dos navios, digamos A, por exemplo, ele próprio está parado, enquanto B se movimenta em linha reta com uma velocidade relativa que você pode descobrir compondo vetorialmente as duas velocidades: . Com isso, vira um simples problema de geometria. Eu encorajo que você tente fazer dessa forma.

Mas como se trata de um exercício da matéria de cálculo 1, eu imagino que o autor dessa questão queira que você faça utilizando os métodos de cálculo, e é assim que eu vou fazer para você. Orientando nossos eixos cartesianos de forma que o eixo cresça para leste, cresça para norte, e com origem na posição inicial do navio B, as equações de movimento de cada navio são:

,

,

,

,

onde nossas unidades são e . Portanto, a distância ao quadrado entre os dois navios é:

.

Ora, o mínimo da distância corresponde também ao mínimo de , então vamos derivar essa expressão em relação ao tempo e igualar a zero:

Vemos então que a posição mínima vai ocorrer após do começo do movimento, ou seja, às horas. Com relação à distância mínima, basta substituirmos na expressão para :