Se completarmos os quadrados na equação ficaríamos com:
z=900-(x-16)^2-(y-20,5)^2+16^2+20,5^2
z=1576,25-(x-16)^2-(y-20,5)^2
(x-16)^2+(y-20,5)^2+z=1576,25
Desta forma, reconhecendo a equação da quádrica, sabemos que a equação acima representa um paraboloide com concavidade para baixo, que terá seu valor máximo quando as derivadas de z em relação a x e a y forem 0 ( no vértice do paraboloide).
Assim, temos
dz/dx= 0 =2(x-16)
2x=32
x=16
dz/dy= 0 = 2(y-20,5)
2y=41
y=20,5
Portanto a produção que maximiza o lucro é de 16 unidades do insumo x e 20 unidades do insumo y, pois não é possível obter 0.5 unidade de um insumo, então se forem produzidos 20 unidades do insumo y, o lucro será o máximo. ( Não poderia ser 21 porque assim o custo para a produção aumentaria para um mesmo número de unidades de z produzidos).
O maior número de produtos z produzido será calculado por:
z(16,20)=900-16^2-20,^2+32.16+41.20
z(16,20)=900-256-400+512+820
z(16,20)= 1576 unidades
Portanto o lucro máximo será de:
L= Receita - Custo
Lmáx= 1576. 5 - ( 2.16 + 1.20)
Lmáx = R$7828,00
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