dados os pontos A(1,3,-1), o plano pi: x+z=2 e a reta r: {x-y-z=2 e x+y-z=2 determine a equação da reta L que contém o ponto A, é paralela ao plano pi e dista 3 unidades da reta r.
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Olá! Realmente essa questão é complexa, mas não difícil (não confunda complexidade com dificuldade, são coisas totalmente diferentes).
Existem vários formatos de equações que representam retas. A mais simples é a forma paramétrica
em que é o vetor diretor e
é um ponto da reta. Vamos chamar
. Como o ponto
está na reta L, então
. Assim, se
é um ponto qualquer da reta, teremos
o que dará
O vetor normal ao plano é
. Como a reta L é paralela ao plano
, então ela é ortogonal ao vetor n. Assim
O plano é definido pelo sistema de equações
Subtraindo estas equações encontraremos , logo o sistema será
Em forma paramétrica:
Assim o vetor diretor é e um ponto dela é
.
A distância entre as retas r e l é
Temos
Como a=-c, teremos
Logo
Agora . Assim
E como a distância é 3, teremos que
Portanto a equação da reta L será
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