Integração indefinida por partes

Question

A taxa estimada de produção(P) de petróleo de certo poço, t anos após a produção ter começado, é R( t ) = 100te ^-0,1t milhares de barris por ano. Encontre:

(a) A produção de petróleo a 5 e 10 anos após a produção ter começado.

(b)A taxa na qual a produção de petróleo estará a 5 e a 10 anos após a produção ter começado.

Ricardo I. · Answer

A produção de petróleo do poço P(t), t anos depois de iniciar sua produção, é obtida integrando a expressão da taxa de produção R(t). A integral envolverá uma integração por partes. Vejamos:  Definindo-se u e dv:  Resolvendo a integral:    (a) Com a integral indefinida resolvida, é possível integrar a expressão de R(t) em um intervalo de tempo a fim de se obter a produção do poço. No caso, estamos interessados em obter a produção do poço 5 e 10 anos depois do poço ter entrado em produção. Logo, a produção do poço de petróleo 5 anos depois de ter entrado em produção, P(5), em milhares de barris, é:  A produção do poço 10 anos depois de ter começado sua produção, P(10), em milhares de barris, é:  (b) Para obter a taxa de produção em 5 e 10 anos, basta calcular o valor numérico da função R(t), para t=5 e t=10 anos.