Calcular a integral da função f(x,y)=x^2+2y^2 ao longo da circunferência unitária alfa(t)=(cos (t),sen(t)) com t pertence[0,2pi]
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A integral de linha de uma função escalar F(x,y) ao longo de uma curva parametrizada f(t) é dada por:
?F(f(t)).|f'(t)|dt
Nesse caso F(x,y)=x^2 + 2y^2 e f(t)=(cost,sent),logo f'(t)=(-sent,cost) e
Dessa forma substituindo na fórmula:?F(cost,sent).|(-sent,cost)|dt = ?((cost)^2 + 2(sent)^2)(?(-sent)^2 +(cost)^2))dt
Arrumando a integral e usando a relação fundamental (sent)^2 + (cost)^2=1:
?((cost)^2 + (sent)^2 + (sent)^2)(?1))dt = ?(1 + (sent)^2)dt = ?dt + ?(sent)^2dt:
usando a relação do arco duplo do cosseno:Cos2t=1 - 2(sent)^2 temos que (sent)^2=(1 - cos2t)/2
?(sent)^2dt = ?(1 - cos2t)/2dt = t/2 - (sen2t)/4
Assim temos que a integral inicial:?dt + ?(sent)^2dt = t + t/2 -(sen2t)/4 = 3t/2 -(sen2t)/4,com limites [0,2?]:Substituindo:
=[3(2?)/2 -(sen2(2?))/4] - [3(0)/2 -(sen2(0))/4]=3?
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