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Chamando 2x+1=u, então du=2dx => dx=du/2; mais ainda, x= (u-1)/2. Assim, podemos reescrever a integral:
Substituindo u, então
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Deixa eu tentar te explicar.
Veja:
Fazendo uma substituição temos:
2x+1 = u
x = (u-1)/2 e
du/dx = 2
dx = du/2
Logo:
=
Resolvendo:
u/4 - ln|u|/4
Voltando para X
(2x+1)/4 - ln|2x+1|/4 + C
Essa resposta pode ser reescrita como:
2x/4 + 1/4 - ln|2x+1|/4 + C
x/2 - ln|2x+1|/4 + C
Uma vez que 1/4 também é uma constante ele pode ser incorporado em C.
A resposta do livro está correta.
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