Seja P : R → R um polinômio de grau impar. Escreva a expressão geral de tal polinômio e mostre que existe pelo menos uma raiz x0 para P(x), isto é, P(x0) = 0.
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Dado um polinômio com coeficientes reais, se ele tem uma raiz complexa, digamos, a + bi, então o seu conjugado, a - bi, é uma raiz também.
Em linguagem matemática, se P(x) é um polinômio com coeficientes reais e P(a+bi) = 0, então necessariamente P(a-bi) = 0.
Com isso, temos que as raízes complexas não reais de um polinômio sempre vêm aos pares. Então você sempre vai ter um número par de raízes complexas não reais.
Desse modo, se P tem grau ímpar, suas raízes não podem ser todas não reais, deve haver pelo menos uma raiz real.
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A expressão geral é:
De acordo com o teorema de Bolzano:
Se uma função de R para R é contínua tal que:
e
,
então existe tal que
Então precisamos calcular os dois limites acima, da expressão geral:
Suponhamos que:
Obs.: Colocamos em evidência e ao aplicarmos o limite, por exemplo, em
, o resultado é zero pois a1 dividido por infinito resulta em zero.
Para o segundo limite é o mesmo procedimento:
Como polinômios são funções contínuas,
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