esta é uma edo de bernoulli 3xdy = y(1 + x sin x - 3y2 sin x)dx, nao sei resolve-la,
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A equação diferencial de Bernoulli é uma equação diferencial ordinária que pode ser escrita na forma:
dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n
onde n é uma constante diferente de 1.
A equação que você apresentou é:
3xdy = y(1 + x sin x - 3y^2 sin x)dx
Para transformá-la em uma equação de Bernoulli, podemos dividir ambos os lados por y^3:
3x/y^2 dy/dx = 1/y^2 + x/y^3 sin x - 3sin x
Agora, podemos fazer a substituição y^-2 = z:
dz/dx = -2y^-3 dy/dx
Substituindo na equação original, temos:
-6xdz/dx = z(1 + x sin x - 3z sin x)
Dividindo ambos os lados por z(1-3z), temos:
-6/(z(1-3z)) dz/dx = (x sin x)/(1-3z) dx
Podemos agora integrar ambos os lados:
-6 ln|z| + 9 ln|1-3z| = -cos(x) + C
Substituindo z = y^-2 e simplificando, chegamos à solução geral:
y = ±sqrt((c1 exp(3x/2))/(c2 exp(x sin x/3) - 1))
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
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