Paralelepípedo inscrito em elipsóide

Professor José F.

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Respondeu há 6 meses

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Vamos dizer que o ponto é um dos vértices do paralelepípedo. Automaticamente, ficam determinados os outros 7 vértices: , , , e assim por diante. Portanto, as dimensões do paralelepípedo são , ou seja, seu volume é . Agora o problema se reduz a maximizarmos a função sujeita ao vínculo . Isso é mais facilmente resolvido com o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos então a lagrangiana
,

e impomos as condições de maximização , o que nos leva ao seguinte sistema de equações:

Resolvendo o sistema e assumindo sem perda de generalidade que , e são positivos, você vai encontrar (se eu não errei nenhuma conta):

.

Logo, as dimensões do paralelepípedo são .

Professor Rafael P.

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Respondeu há 8 meses

Boa tarde Shmuel

Determine as dimensões do paralelepípedo retângulo de volume máximo e faces paralelas aos planos coordenados que pode ser inscrito no elipsóide 16x^2+4y^2+9z^2=144.

Primeiro lembre-se que a equação de um elipsóide é , dessa forma, rearrumando o elipsóide dado, temos:

, onde a= 3, b=6 e c=4.  Imagine os seguintes pontos (x,y, z) e (-x,y,z), (x,y, -z) e (-x,y, -z), (x,-y, -z) e (-x,-y,- z), (x,-y, z) e (-x,-y, z) , que seriam os vértices do seu paralelepípedo. Assim, o volume seria

. Note que seu problema é identificar (x,y,z). Como o centro do elipsóide é a origem, o paralelepípedo deve ter o mesmo volume em cada octante. Assim, em um octante, temos:

...

Para ver o restante seria melhor agendar uma tarefa.