Ponto anguloso ou bico

Bom dia Iarrison. Na verdade, acredito que o que você está chamando de ponto anguloso seja um bico no gráfico de uma função f qualquer, por exemplo, na função módulo. A melhor definição, ao meu modo de ver, é justamente essa que você colocou, portanto, vou tentar explicar essa definição. Supondo que a função f contínua em todo seu domínio. Para saber se um ponto x0 é ponto de bico e, portanto, não possui reta tangente, devemos calcular o valor da derivada dessa função f com x tendendo a x0 pela esquerda (x0 -) e comparar com o valor da derivada dessa função para x tendendo a x0 pela direita (x0 +). Talvez esteja confundindo derivada no ponto x0 com o valor da função no ponto x0, pois a função for contínua, invariavelmente, no segundo caso, teremos igualdade para f(x0 -) e f(x0 +). No entanto, isso é totalmente diferente de f' (x0 -) e f' (x0 +). Geralmente esses cálculos são feitos utilizando a definição de derivada. Mais geralmente ainda, funções com ponto de bico, possuem uma expressão que define f à esquerda x0 e outra expressão que define f à direta de x0. Ou seja, usualmente, utilizamos que f' (x0 -) = Lim (h tendendo a 0) [ f(x0 - h) - f(x0) ] / h f' (x0 +) = Lim (h tendendo a 0) [ f(x0 + h) - f(x0) ] / h Por exemplo, para f(x) = |x|, temos que f(x) = -x, se x < 0 f(x) = x, se x maior ou igual 0. Se calcularmos a derivada à esquerda de x0 = 0, teremos que f' (x0 -) = -1 e f' (x0 +) = 1. Espero ter ajudado e bons estudos.